1.2工厂每月生产 A、B、C三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源 限量及单件产品利润如表 1 - 23所示.
表 1-23 产品 \资源、， 材料（kg） 设备（台时） 利润（元/件） A 1.5 3 10 B 1.2 1.6 14 C 4 1.2 资源限量 2500 1400 12 根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是 和130 ?试建立该问题的数学模型，使每月利润最大.
150、260和120，最高月需求是250、310
【解】设X2、X3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
maxZ =10^14x2 12x3 1.5為 +1.2x2 +4x3 玄 2500 3捲 +1.6x2 +1.2x3 M1400 150^x^250 」260兰x2兰310 120 兰x3 930 NXH 一0
1.3建筑公司需要用 6m长的塑钢材料制作 A、B两种型号的窗架?两种窗架所需材料规格 及数量如表1 — 24所
示：
表1— 24窗架所需材料规格及数量 型号A 长度 数量（根） （m） A1: 1.7 2 A2 : 1.3 3 需要量（套） 200 型号B 长度 （m） B1: 2.7 B2 : 2.0 150 2 3 数量（根） 每套窗架需要 材料 问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少. 【解】 第一步：求下料方案，见下表。
-一二 三四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 需要量 万案 - B1:2.7m 2 1 1 1 0 0 0 B2:2m 0 1 0 0 3 2 2 \\ 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 0 2 2 0 0 0 1 3 0 0 0 4 300 450 400 600 A1:1.7m 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 A2:1.3m 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 余料 0.6 0 0.3 0.7 0 0.3 0.7 0.6 1 0.1 0.9 第二步：建立线性规划数学模型
0.4 0.8 设Xj （j=1,2, ???, 14）为第j种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为
min Z 八 Xj
j J
2为 +x2 +x3 +& 艺 300
x2 +3x5 +2x6 +2X7 +x$ +% +x,0 ±450 x3 X5 2xs x9 3x11 Xj _0,j =1,2,111,14
用单纯形法求解得到两个基本最优解
2^2 x3 _ 400
x2 +% +2x4 +x7 +x9 +3x10 +2x12 +3^3 +4^4 ±600
X⑴=(50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X =( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 (2)余料最少数学模型为
(2)
mi nZ = 0.6为 0.3怡 0.7x4 11( 0.4x13 0.8x14 2% + x2 + x3 + x4 启 300 X2 3x5 2x6 2x7 x X9 X10 一 450
’ x3 +x6 +2x8 +x9 +3X4T +2x12 +x13 Z400
x2 +x3 +2% +x7 +% +3x10 +2x12 +3x13 +4x14 A600 Xj _0,j =1,2,|山14
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X⑴=(0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料 550 根 X⑵=(0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料 650 根
显然用料最少的方案最优。
1.4某企业需要制定1?6月份产品A的生产与销售计划。已知产品 A每月底交货，市场需 求没有限制，由于仓库容量有限， 仓库最多库存产品 A1000件，1月初仓库库存200件。1 6月份产品A的单件成本与售价如表 1-25
所示。 表 1 - 25 月份 产品成本(元/件) 1 300 350 2 330 340 3 320 350 4 360 420 5 360 410 6 300 340 销售价格(元/件) (1) 1?6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
(2) 当1月初库存量为零并且要求 6月底需要库存200件时，模型如何变化。
【解】设Xj、yj (j = 1, 2,…，6)分别为1?6月份的生产量和销售量，则数学模型为
maxZ = -300Xi 350 yi -330X2 340 y2 -320X3 350 y3 -360X4
420 y4 -360X5 4i0y5 -300x6
xi _800
340y6
xxxx
(1)
1 —'y1
1 x2- 800
x2 - y2 x3 乞 800 ' X2 _ y2■' X3 - y3 ■' X4 — 800
1 - y1 i 1 - y1 1 - y1
I 1
X_ y
22
2 2
X_ yX_ y
3 3
3 3
4 4
4 4
x
_xi
1
i - yi
X_ yX_ yX_ y
^-
5
800_ y
^5
5 X^
- 800
-Xi :
_xi _Xi _Xi _Xi
力 _200
yi - X2 yi - X2 yi - X2 yi - X2
y2 <200
讨2
讨-X3 y3 -X3 y3
<200
-x4 -x4
y4 _ 200 y4 - X5 y5 — 200 y4 _ X5 y5 _ X6 y6 _ 200
yi - X2
Xj,yj X0; j =i,2,川,6
200”改为200”。 为0,
2 -X3 y3
y2 -X3 y3
(2) 目标函数不变，前 6个约束右端常数 800改为i000 ,第7?ii个约束右端常数200改 第i2个约束“W
1.5某投资人现有下列四种投资机会
继续将本息投入获利；
，三年内每年年初都有 3万元（不计利息）可供投资：
20%，下一年可
50%，下一年可
方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是
两年结算一次， 收益率是
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资, 继续将本息投入获利，这种投资最多不超过
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资, 最多不超过i.5万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资, 资最多不超过i万元.
2万元；
两年结算一次， 收益率是 一年结算一次， 年收益率是
60%，这种投资 30%，这种投
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型
【解】是设Xj为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下 项目一 项目二 项目四 项目三 第i年 Xii X2i X3i Xi2 X23 X34 第2年 第3年 数学模型为
max Z =0.2x11 - 0.2x2i - 0.2x31 0.5x12 0.6x23 0.3x34 心 +x12 M 30000
一l^x^ +x21 +x23 兰 30000
—ibx^ —1.2x21 +x31 +x34 兰30000 x\x23 兰 15000 x34 兰 10000
Xj _0,i =1,|l|,3; j =1,||(4
最优解 X=(30000 , 0, 66000, 0, 109200, 0); Z = 84720
1.6炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由 中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于 94,每桶利润5元，见表1-26。
表 1-26 成品油 高级汽油 一般汽油 航空煤油 一般煤油 中石脑油 半成品油 重整汽油 裂化汽油 辛烷值 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 > 84 轻油、裂化 油、重轻油、裂化 油、重油、残 油 油、残 油按 10:4:3:1 调合而成 > 94 蒸汽压：公斤 /平方厘米 利润（元/桶） 表 1-27
半成品油 辛烷值 < 1 5 4.2 1-27。
3 1.5 半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表
1中石脑油 2重整汽油 3裂化汽油 4轻油 5裂化油 6重油 7残油 80 115 105 蒸汽压：公斤/ 平方厘米 每天供应数量 1.0 1500 1.5 0.6 0.05 （桶） 2000 1000 1200 1000 1000 800 问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解 设Xj为第i （i = 1,2,3,4）种成品油配第j（j=1,2,…,7）种半成品油的数量（桶） 总利润：
Z -5(x11 ■ X12 ' 1.5( x44
x13)
'
4.2( X21 ' x45 '沧6
X22
'人7 )
■ x23) 3(x34 X35
' X36 x37 )
高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
80X11 +115X12 十105为3) 94
XX11
* 朋
X
80x21 十1 15x22 +105x23 芒 94
12 ' X13
XX21
22 ' X23
航空煤油蒸气压约束
X
34
15 xX
.
34
35
X
0.6X36+ 0.
+
05x
37
....'1
35 ' X3637
一般煤油比例约束
x44 : x45: x46 : x4^ 10 : 4: 3:1
X44 X
10 X45 4 X46 3
45
X
46
3
半成品油供应量约束
X
47
1
xn - x21 二 2000
X12 x22 _1000 X13
x23 _1500 x34 & _1200 X35 ' X45
_
1000
X36 & 辽 1000
x37 心 _800
整理后得到
maxZ = 5x11 5x12 5x13 4.2 x21
4.2 x22 4.2x233x34 3x35 3x36 3x37 1.5X44 1.5x45 1.5x46
—14XH +21x12 +11x13 Z0
-14X21
21x22 1 1x23 _ 0
-4X21 31x22 21x23 _ 0 0.5X35 —0.4X36 —0.95X37 _0
4X44 - 10X45 — 0
3X45 -4X46 =0
X
4
-
3x
47
6
x11 - x21 込2000
x12 x22 込 1000 x13 x23 _ 1500 x34 x44 - 1200
X35
' X
45
-
1000
X
36 + X46
兰 1000
x37 +x47 兰 800
Xj -0；i =1,2,3,4;j =1,2,111,7
1.8将下列线性规划化为标准形式
maxZ =捲 4x2 -冷
X2 3X3 _20
⑴ 5为-7X2 4X3 -3
10为 +3X2+6x3 A-5
占芒0必^0,x3无限制
【解】（1）令x3 =x3 -X3，X4,X5,X6为松驰变量
，则标准形式为
47
1.5x
最新运筹学第1章答案
