2020中考数学 专题复习：圆的综合（含答案）
类型一 与基本性质有关的证明与计算
︵
1. 如图，AB是⊙O的直径，点D是AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD平分∠ABE，求证：DE2＝DF ·DB；
(3)在(2)的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．
第1题图
(1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠ABE＝90°，
∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE，
∴∠ABE＋∠CBE＝∠ABE＋∠EAB＝90°，即CB⊥AB. 又∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)证明：∵BD平分∠ABE， ︵︵∴∠ABD＝∠DBE，AD＝DE， ∴∠ABD＝ ∠DEA，
∴∠DEA＝ ∠DBE， ∵∠EDB＝∠BDE， ∴△DEF∽△DBE， ∴
DEDF＝， DBDE
∴DE2＝ DF ·DB；
(3)解：如解图，连接OD，延长ED交BA的延长线于点P，
∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ABE， ∴∠OBD＝ ∠EBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， ∴△PDO∽△PEB， ∴
PDPE＝PO
PB
， ∵PA＝AO， ∴PA＝AO＝OB， ∴
POPB＝PDPE＝23
， ∵
PDPE＝PD2PD＋DE＝3
，DE＝2， 第1题解图
∴PD＝4.
︵
2. 如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F. (1)求证：CF＝BF；
(2)若BE＝4，EF＝ 3，求⊙O的半径．
(1)证明：连接AC，如解图，
∵点C是BD︵
的中点，∴∠DBC＝∠BAC， 在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
第2题图
第2题解图
∴∠BCE＋∠ECA＝∠BAC＋∠ECA＝90°， ∴∠BCE＝∠BAC， ︵
又∵C是BD的中点， ∴∠DBC＝∠CDB， ∴∠BCE＝∠DBC， ∴CF＝ BF；
(2)解：∵BE＝ 4，EF＝ 3， ∴BF＝
32＋42＝ 5，
∴CF＝ 5， ∴CE＝ 5＋3＝ 8， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝ 90°， ∴CE2＝BE ·AB， CE264∴AB＝＝ ＝ 16，
BE4∴AO＝ 8，∴⊙O的半径为8.
3. 如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD. (1)求证：AD＝AN;
(2)若AB＝8，ON＝ 1，求⊙O的半径．
第3题图
(1)证明：∵CD⊥AB， ∴∠CEB＝ 90°， ∴∠C＋∠B＝ 90°， 同理∠C＋∠CNM＝ 90°， ∴∠CNM＝∠B， ∵∠CNM＝ ∠AND， ∴∠AND＝ ∠B， ∵AC︵＝AC︵， ∴∠ADN＝ ∠B， ∴∠AND＝ ∠ADN， ∴AN＝AD；
(2)解：设OE的长为x，连接OA，∵AN＝AD，CD⊥AB， ∴DE＝ NE＝x＋1，
∴OD＝OE＋ED＝x＋x＋1＝2x＋1，第3题解图
2020九年级中考数学 专题复习：圆的综合(含答案)
