2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学理
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合M?{?1,0,1},N?{0,1,2},则M?N? A．{?1,0,1} B. {?1,0,1,2} C. {?1,0,2} D. {0,1} 2.已知复数Z满足(3?4i)z?25,则Z=
A．3?4i B. 3?4i C. ?3?4i D. ?3?4i
?y?x?3.若变量x,y满足约束条件?x?y?1且z?2x?y的最大值和最小值分别为M和m，则
?y??1?M-m=
A．8 B.7 C.6 D.5
x2y2x2y2??1与曲线??1的 4.若实数k满足0?k?9,则曲线
259?k25?k9A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 5.已知向量a??1,0,?1?,则下列向量中与a成60?夹角的是
A．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）
6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A、200,20 B、100,20 C、200,10 D、100,10
7、若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1?l2,l2,?l3,l3?l4，则下列结论一定正确的是
A．l1?l4 B．l1//l4 C．l1,l4既不垂直也不平行 D．l1,l4的位置关系不确定
8.设集合A=??x,x,x,x,x?x??1,0,1,i?1,2,3,4,5?，那么集合
12345iA中满足条件
“1?x1?x2?x3?x4?x5?3”的元素个数为
A．60 B90 C.120 D.130
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．不等式x?1?x?2?5的解集为 。 10．曲线y?e?5x?2在点(0,3)处的切线方程为 。
11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
12．在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC?ccosB?2b， 则
a? 。 b513．若等比数列?an?的各项均为正数，且a10a11?a9a12?2e，
则lna1?lna2????lna2n? 。 （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为?sin??cos?和?sin?＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为＿＿ 15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则
2?CDF的面积＝＿＿＿
?AEF的面积
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（12分）已知函数f(x)?Asin(x? （1）求A的值； （2）若f(?)?f(??)?
?53),x?R，且f(?)?， 41223?3，??(0,)，求f(???)。 224 17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
（1）确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。 18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。 （1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D－AF－E的余弦值。
19. （14分）设数列?an?的前n和为Sn,满足Sn2?2nan?1?3n2?4n,n?N*，且S3?15。 (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列?an?的通项公式;
x2y2520. （14分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为，
3ab（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
21.（本题14分）设函数f(x)?1(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3222，其中k??2，
（1）求函数f(x)的定义域D；（用区间表示） （2）讨论f(x)在区间D上的单调性；
（3）若k??6，求D上满足条件f(x)?f(1)的x的集合。
2014年广东高考理科数学参考答案与解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B【命题意图】本小题主要考查了集合中的元素及并集运算问题，要注意正确运用集合的基本运算，认清集合中的元素，避免遗漏元素而出错.
【解析】∵M?{?1,0,1}，N?{0,1,2}，∴MUN?{?1,0,1,2}，故选B.
2.D【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，关键是正确掌握复数的运算法则与性质.
【解析】∵(3?4i)z?25，∴z?25(3?4i)25==3?4i，故选D. 3?4i(3?4i)(3?4i)3．C【命题意图】本题主要考查线两直线交点的解法、二元不等式组的解法及性规划问题，关键是作出如图所示的可行域，并正确判断目标函数z?2x?y经过两直线x?y?1与
y??1交点B(2,?1)时，值最大；经过两直线y?x与y??1交点A(?1,?1)时，值最小.
【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线z?2x?y经过点B(2,?1)时，
zmax?2?2?1?3，当直线z?2x?y经过点A(?1,?1)时，zmin?2?(?1)?1??3，所
以M?N?6，故选C. 2COy = -1A2y = x510Bx+y-1=0 4. D【命题意图】本题主要考查了双曲线的几何意义. 4x2y2x2y2??1与??1【解析】∵0?k?9，∴9?k?0，25?k?0，∴曲线6259?k25?k9均是双曲线，且c?a?b=25?(9?k)=(25?k)?9，即焦距相等.故选D.
5．B【命题意图】本题主要考查了空间向量坐标运算和夹角求解，关键是正确掌握空间向量坐标运算的法则.
【解析】∵a?(1,0,?1)，设所求向量为b?(x,y,z)，由题意得：a?b?|a||b|cos60，∴b?(1,?1,0).故选B.
6. A【命题意图】本题主要考查了统计图表中的扇形统计图和条形统计图以及分层抽样的理解.
【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：3500?4500?2000?10000人，所以样本容量为10000?2%?200，应抽取高中生人数为：200?o2224?40，所以抽取的高中
7?9?4生近视人数为40?50%?20人.故选A.
7. D【命题意图】本题主要考查了立体几何空间中直线位置关系的判定.
【解析】如图所示的正方体ABCD?A?B?C?D?中，令l1为AA?，l2为BC，当l3为CC?时，
l1∥l3???l1?l4，则选项A成立，当l3为CD时，则l4可以为对角线BC?或BB?或B?C?，l3?l4?l1与l4是异面直线或平行或垂直，所以l1与l4位置关系不确定.故选D.
D'A'B'C'DC
8. D【命题意图】本题主要考查了集合中的新定义、计数原理、排列组合及绝对值不等式的性质，旨在考查创新意识和创新能力.
【解析】由新定义知：x1,x2,x3,x4,x5中至少有两个0，至多有4个0，只含2个0时有C5223AB
2014年广东卷数学试题及答案(理)
