初二数学期中复习及考前模拟华东师大版
一. 教学内容：
期中复习及考前模拟
复习内容：分式、函数及其图象
二. 教学重点、难点： 1. 重点：
⑴分式的概念，分式的值为零的条件；
⑵会利用分式的基本性质进行通分和约分；
⑶分式方程的概念，会用科学记数法表示绝对值小于1的数；
⑷分清常量与变量、自变量与函数的概念，会确定函数自变量的取值范围；
⑸初步认识函数的图象，会用列表法、图象法、解析法表示函数关系式，会通过列表、描点、连线画出简单的函数图象． 2. 难点：
⑴分式的加、减、乘、除及混合运算；
⑵可化为一元一次方程的分式方程的解法及其运用；⑶一次函数与反比例函数图象的性质及其实际应用；⑷用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，从图表中获取数学信息从而解决实际问题．
三. 知识梳理：
（一）分式
1. 分式的基本概念
⑴形如
A（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．B⑵最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．⑶有理式：整式和分式统称为有理式．
说明：要使分式有意义，必须保证分母不为0．2. 分式的基本性质
⑴基本性质：分式的分子或分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用符号表示为：
AA?MAA?M（M是整式，M≠0）． ?,?BB?MBB?M⑵应用：
①分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
②分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式叫做分式的通分．
③分式的值为零：分式的值为零是指分式的分子为零且分母不等于零．
④分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
a?aa?a?????bb?b?bacacacadad??；⑵除法：????；bdbdbdbcbc3. 分式的运算法则⑴乘法：
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acadbcad?bcan?a???⑶乘方：???n（n为正整数）；⑷加减法：??bdbdbdbdb?b?⑸混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的．
注意：分式的运算结果应是最简分式或整式．4. 解分式方程的一般步骤
⑴去分母，将分式方程化为整式方程 ⑵解这个整式方程⑶验根，把整式方程的根代入最简公分母中，若值不为零，则是原方程的根，若值为零，则是原方程的增根，原方程无解．
注意：解分式方程一定要验根．5. 分式方程的应用
分式方程应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
⑴检验所求的解是否是方程的解⑵检验所求的解是否符合题意．（二）函数及其图象1. 平面直角坐标系
平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系，该平面就是坐标平面．
坐标平面内的任意一点与有序实数对（x，y）是一一对应的．2. 特殊点的坐标的特征：设点P（ x，y）⑴各象限内的点．
⑵坐标轴上的点：x轴上的点，y＝0 y轴上的点，x＝0．⑶关于原点和坐标轴对称的点的坐标：
（a，b）关于x轴对称的点；关于y轴对称的点；关于原点对称的点．只要记住一句话即可：关于什么轴对称什么轴的坐标就不变关于原点对称的点两坐标都要改变．
3. 函数的概念⑴常量与变量：在某问题的研究过程中，可以取不同数值的量，叫做变量数值保持不变的量，叫做常量．
⑵函数：设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x（在取值范围内）的每一值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．4. 函数自变量的取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围．确定自变量的取值范围的方法：
⑴自变量的取值应使函数解析式有意义
①当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数
②当自变量是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数
③当解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数．⑵自变量取值应使实际问题有意义．5. 函数的表示法
⑴解析法：最常见的表达形式，表达简洁．
用解析法表示函数时，确定自变量的取值范围应使解析式有意义．⑵列表法：不常用的表达形式，关系明确．⑶图象法：常见的表达形式，直观形象．
在解决一些与函数有关的应用题时，有时可以通过数形结合的方法来解决．6. 画函数图象的一般步骤：
对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形就是这个函数的图象．根据函数的解析式，
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n用描点法画出函数的图象，一般可分为三个步骤：⑴列表⑵描点⑶连线．7. 一次函数的定义：
⑴一次函数：如果y＝kx＋b （k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．⑵正比例函数：当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成了y＝kx（k是常数且 k≠0），这时y叫做x的正比例函数（或称y与x成正比例）．8. 一次函数的图象：
⑴一次函数的图象特征：
一次函数y＝kx＋b （k，b是常数，k≠0）的图象是经过点(?b,0)和点（0，b）的一条k直线．
正比例函数y＝kx （k是常数，k≠0）的图象是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线．
⑵一次函数图象的性质：
k>0时，y随x的增大而增大； k<0时，y随x的增大而减小．（k、b决定函数图象经过哪几个象限．）
9. 待定系数法及一次函数的应用先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法．其中未知的系数也叫做待定系数．
用待定系数法求函数解析式的一般步骤：⑴写出函数解析式的一般形式
⑵把已知条件（通常是自变量和函数的对应值或函数图象上某点的坐标等）代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．
⑶解方程或解方程组求出待定系数的值，从而写出函数解析式．10. 反比例函数的概念
k（k是常数，k≠0）叫做反比例函数（或称y与x成反比例）．xkkk函数y＝中的是一个分式，自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点，y＝也可写成
xxx函数y＝
y＝kx－1（k≠0），注意自变量x的指数为－1， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系
数k≠0这一限制条件．11. 反比例函数的图象
k（k≠0）的图象是双曲线．xk在用描点法画反比例函数y＝的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，应从1或
x⑴反比例函数y＝
－1开始对称取点．
⑵图象的性质：
k>0时，反比例函数的图象分布在一三两个象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；k<0时，反比例函数的图象分布在二四两个象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
12. 反比例函数y＝过双曲线y＝
k （k≠0）中k的意义xk（k≠0）上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为│k│．x如果已知双曲线上一点的坐标（a，b），则k＝ab．13. 反比例函数的应用
⑴反比例函数解析式的确定仍是待定系数法，因只有一个待定系数，所以只需要一个点
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的坐标即可．
⑵反比例函数经常与一次函数、图形的面积等知识相结合．
【典型例题】
例1. 如果分式
|x|-1的值为零，那么x等于（
x2?3x?2）
A. －1 B. 1 C. －1或1 D. 1或2
分析：要求分式值为零应该考虑两个条件：①分式的分子为零；②分式的分母不为零．在做题时一定要注意检验分母的值是否为零．
解：
x?1|x|-1＝
x2?3x?2?x?1??x?2? 当│x│－1＝0，即x＝±1时，分式的分子为零，但当x＝1时，分式的分母为零，分式无意义，所以x＝－1．选A
6m??1有增根，则它的增根是（ ）．
?x?1??x?1?x?1A. 0 B. 1 C. －1 D. 1和－1
分析：本题应直接由增根的定义得出答案，而不是化为整式方程来求解，而且即使化为整式方程也不能得到方程的根，因为方程中有未知系数m．
例2. 若方程
解：由增根的定义可知，使得最简公分母的值为零的即是原分式方程的增根，所以本增根应为1和－1．选D．
例3. 某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，则可得方程（ ）
40004000??20 x?10x40004000??20 C.
x?10x
A.
B.
40004000??20xx?1040004000??20 D. xx?10分析：做应用题，要注意分析的方法，我们建议用一个简单的表格来分析（平时做题打
草稿时不用画表格线），把未知数、已知数、要表达的关系式分别表示出来．例如本题可表示为：
原来后来xV（速度）x＋1040004000T（时间）
xx?1040004000S（工作量）
然后由时间关系得到
4000400040004000??20即??20，xx?10xx?10借助表格分析的好处就是搭起了一个未知和已知之间的桥梁．
解：设原计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设管道（x＋10）米原计划时间为：
40004000，后来所用的时间为：．xx?10后来所用时间＝原计划时间－20，即原时间－后来时间＝20
所以正确方程为选项D．
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例4. 先化简，再求值：（
xx4x?）÷，其中x＝2005．x?2x?2x?2分析：分式的化简求值题，只要掌握好相关运算法则就不难解决．
解：按照分式的运算法则进行运算：
x2?2x?x2?2xx?211原式＝·＝＝．
(x?2)(x?2)4xx?22007例5. 函数y??1中，自变量x的取值范围是（ ）x?2 A、x≠2 B、x≤－2 C、x≠－2 D、x≥－2
解：自变量的取值应该使解析式有意义，所以由分母x＋2≠0得x≠－2，选择C．点拨：中考试题中考查自变量的取值范围的较常见，考虑问题时要全面．常见的为分式、二次根式的形式．
?x?1?0x?1如：y?需考虑?得x?1且x?2．
x?2?0x?2?例6. 点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为 （ ）
A. （－1，2） B. （－1，－2） C. （1，－2） D. （2，－1）
分析：关于什么轴对称，什么轴的坐标就不变；关于原点对称横坐标纵坐标都要改变．
解：关于x轴对称，则横坐标不变，对称点的坐标为（1，－2），选C．例7. 已知直线y?x?b，当b?0时，直线不经过 （ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
分析：本题直接通过画图来得到答案，当b?0时，正比例函数y＝x向下移动，如图所示，注意不要因为是＋b就认为向上，要注意所给的条件为b?0．
解：通过画图来直接观察可得，直线不经过第二象限．选B．例8. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ）
分析：做这样的题目要注意题目的实际意义，蜡烛4小时后就燃烧完了，它其实是一个分段的函数，函数的图象是一条线段，不是一条直线．蜡烛长20cm，每小时燃烧5cm，所以应该是4小时燃烧完，燃烧时间x的取值范围应该是0≤x≤4，且蜡烛是越来越短直到4小
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八年级数学期中复习及考前模拟华东师大版知识精讲
