高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题
一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c－b＝3ac，则角B的值为( ) πππ5ππ2πA. B. C. 或 D. 或
6366332．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 ( ) A．75° B．60° C．45° D．30°
3．(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC ( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) 5337A. B. C. D. 18428
5．(2010·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝
2a，则 ( ) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b大小不能确定 二、填空题
6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝3，b＝3，C＝30°，则A＝________. 7．(2010·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos
2
2
2
B
＝2，则角A的大小为________．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ________． 三、解答题
9．△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a－c＝2b，且sin B＝4cos Asin C，求b.
2
2
10．在△ABC中，已知a＋b＝c＋ab. （1）求角C的大小；
3
（2）又若sin Asin B＝，判断△ABC的形状．
4
11．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，
且S＝
3222
(a＋b－c)． 4
2
2
2
（1）求角C的大小；
（2）求sin A＋sin B的最大值．
答案及解析
a2＋c2－b23222
1．【解析】由余弦定理cos B＝，由a＋c－b＝3ac，∴cos B＝，又0＜B＜π，∴B2ac2
π
＝. 6【答案】A
13
2．【解析】S△ABC＝×3×4sin C＝33，∴sin C＝. ∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.
22【答案】B
3．【解析】由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，得a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13.
∴c＞a＋b＝5＋11＝146，∴c＞a＋b，根据余弦定理，易知△ABC为钝角三角形． 【答案】C
4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为 2＋2－17＝.
2×2×28【答案】D
5．【解析】∵∠C＝120°，c＝2a，∴由余弦定理，得(2a)＝a＋b－2abcos 120°，故ab＝a－b＝
(a－b)(a＋b)＞0，∴a－b＞0，故a＞b. 【答案】A
6．【解析】∵c＝a＋b－2abcos C＝3，∴c＝3，∴a＝c，则A＝C＝30°. 【答案】30°
πππab7．【解析】∵sin B＋cos B＝2sin(B＋)＝2，∴sin(B＋)＝1，∴B＝. 又＝，444sin Asin B1
得sin A＝，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A＝.
π6
π
【答案】 6
π1
8．【解析】∵A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，∴2B＝A＋C，∴B＝，又BD＝BC＝2，
32∴在△ABD中，AD＝AB＋BD－2AB·BDcos B＝3. 【答案】3
9．【解析】法一 ∵sin B＝4cos Asin C，由正弦定理，得＝4cos A，∴b＝4ccos A，由余弦定
2R2R理
2
2
bcb2＋c2－a2222222
得b＝4c·，∴b＝2(b＋c－a)，∴b＝2(b－2b)，∴b＝4.
2bc法二 由余弦定理，得a－c＝b－2bccos A，∵a－c＝2b，b≠0，∴b＝2ccos A＋2，①
2
2
2
2
2
bsin Bsin B由正弦定理，得＝，又由已知得，＝4cos A，∴b＝4ccos A．②
csin Csin C解①②得b＝4.
a2＋b2－c2ab1π
10．【解析】(1)由题设得a＋b－c＝ab，∴cos C＝＝＝，又C∈(0，π)，∴C＝.
2ab2ab23
2
2
2
211
(2)由(1)知A＋B＝π，∴cos(A＋B)＝－，即cos Acos B－sin Asin B＝－. 又sin Asin B3223
＝， 4
311
∴cos Acos B＝－＝，从而cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝1，由A，B∈(0，π)，
424∴A－B＝0，即A＝B，从而△ABC为等边三角形．
13π
11．【解析】(1)由题意可知absin C＝·2abcos C，所以tan C＝3. 因0＜C＜π，故C＝.
243
2π31
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin(π－C－A)＝sin A＋sin(－A)＝sin A＋cos A＋sin
322
A
ππ2πππ5ππππ
＝3sin(A＋)，∵C＝，∴0＜A＜，∴＜A＋＜，∴当A＋＝，即A＝时，633666623π
3sin(A＋)
6
取最大值3. ∴sin A＋sin B的最大值为3.
高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析
