2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习考点集训：考点二 2.5 对数函数的图象及应用

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考点二 对数函数的图象及应用

【典例2】(1)(2020·玉林模拟)若函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是 ( )

(2)当0

B.

C.(1,

) D.(

,2)

【解析】(1)选D.由题意知,函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,可得01或x<-1, 当x>1时,函数y=loga(|x|-1)=loga(x-1),

将函数y=logax的图象向右平移1个单位,即可得到函数y=loga(x-1)的图象,

又因为函数y=loga(|x|-1)为偶函数,所以图象关于y轴对称. (2)选B.构造函数f(x)=4x和g(x)=logax,

当a>1时不满足条件,当0

上的图象,可

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f

,即2

.

则a>

【一题多解】解答本题,还有以下解法:

选B.因为04x>1,所以0

=2,lo

=1,显然4x

【易错警示】解答本题(2)会出现以下错误:

(1)不能将不等式恒成立转化为两函数图象的位置关系. (2)

与loga的关系不明确.

1.若本例(2)变为:若不等式x2-logax<0对x∈的取值范围.

2.若本例(2)条件变为“当0≤x≤时,16x

【解析】1.由x2-logax<0得x2

恒成立,求实数a

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要使x∈时,不等式x2

上的图象在f2(x)=logax图象的下方即可.当a>1

只需f1(x)=x2在时,显然不成立;

当0

≤f2

,

≤loga,解得a≥,所以≤a<1.

. 上恒成立,

即实数a的取值范围是

2.当a>1时,16x>0,logax<0,因此16x

.

利用对数函数的图象可求解的两类热点问题

上是增函

=2-loga,由2-loga<0,得a>.所以a的取值范围为