一 . 选择题
1.（2、3）（数学、初中数学竞赛、一次方程、选择题）
若k为整数，则使得方程(k?1999)χ=2001?2000χ的解也是整数的k的值有 （ ） A.4个 B. 8个 C.12个 D.16个 分析：将方程进行整理得到??=
2001??+1
，要使解为整数，k+1整除2001即可. 又因为2001=
1×3×23×29,??+1可取±1，±3，±23， ±29,± (3 × 23) ,±(3×29), ± (23× 29), ±2001共 16 个值. 答案：D
技巧：先将方程得根用k表示出来，在来讨论它为整数的情况. 易错点：容易遗漏可能性.
2.（3、4）（数学、初中数学竞赛、浓度问题、一次方程、应用题、选择题）
从100升纯酒精中取出1升倒入10升水中，混合均匀后取出1升倒回纯酒精中.若这时酒
精含水的比是x，水中含酒精的比是y.则
??.??>??? ??.??=??
??.??
技巧：画图分析或者直接模拟分析，发现这个水和酒精是对等的.
易错点：容易陷入水和酒精的误区，导致得出水比究竟多，或水比酒精少的错误结论.
3. （3、4）（数学、初中数学竞赛、一元一次方程、选择题） 关于x的一元一次方程.
√21+√6??√7?√61
1
+
√21?√6??√7+√6=2√3的根是 ( )
A.?√2 B.?√3 C.√7 D.√6
分析：先进行分母有理化得到12χ= ?12√3 ，所以χ= ?√3 . 答案：B
技巧：分母有理化.
易错点：进行有理化时很容易出现化简和计算的错误.
4. （江苏省第21届初中数学竞赛题）若x=2n+1+2n,y=2n-1+2n-2,其中n为整数，则x与y的数量关系为（）
A.x=4y B.y=4xc.x=12yD.y=12x
5.（1998年希望杯竞赛题）某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、 乙两名运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追
上乙并且超过乙，在第23分钟时甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是 ( ) A. 30分钟 B.24分钟 C.20分钟 D.25分钟
3x+2y=a
6.（2006年浙江省竞赛题）要使方程组{的解是一对异号的数，则a的取
2x+3y=2值范围是
444
A.3 ??.??<或a>3 3337.（2000年全国初中数学竞赛题）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年时，甲
25岁，那么 ( )
A.甲比乙大5岁 B.甲比乙大10岁C.乙比甲大10岁D.乙比甲大5岁 8.（全国初中联赛题）若关于x的方程||???2|?1|=??有三个整数解，则a的值为 ( )
A.0 B.2 C.1 D.3 二、填空题
9.（2、3）（数学、初中数学竞赛、应用题、成本利润问题、一元一次方程、填空题） 某种商品的进货价是每件a元，零售价是每件1100元，商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），a=
.
分析：由题意知：1100×80% ?a=10%? a解得a=800 答案：800
技巧：成本+利润=零售价.
易错点：注意下计算方面的问题.这是众多学生的一个通病.
10. （2、3）（数学、初中数学竞赛、绝对值方程、填空题）
若0
技巧：以3分界，进行去绝对值讨论. 易错点：去绝对值最容易出错的是符号问题.
11.（4、5）（数学、初中数学竞赛、一次方程、无穷多解问题、填空题）
If the equation ??(???1)=2001???(???2)for x has infinite（无穷、无限） roots, then ??2001+??2001=
分析：该题的意思是，不论χ取何值，方程均成立，那么就需要将方程进行变形，原方程化为(m+n)x=2001+m+2n，得m=2001,n=?2001. 答案：0.
技巧：方程有无穷多解，就需要将未知数表示出来，然后令其系数为0即可。 易错点：容易出现思路紊乱.
12.（2005年河南省竞赛题）一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为????，过了一小时里程碑上的数字为????，又行驶了一小时里程碑上的数字为三位数A0B，则第三次看到里程碑上的数字是
13.（2005年河南省竞赛题）把99拆成四个数，使得第一个数加上2，第二个数减2， 第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等，那么这四个数是____.
14.（希望杯竞赛题）甲、乙两列客车的长分别为150m和200m，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10s，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是____s.
15.（1998年五羊杯竞赛题）油罐有A，B两条进水管，C，D，E三条出水管.要灌满空罐，单开A管要1.5小时，单开B管要2小时，要排空一罐油，单开C管要3小时，单开D管要4小时，单开E管要4.5小时.现在罐内有0.25罐油，按A, C,D， B，E的顺序打开油管，每次每管单独开1小时，循环进行.问：多少时间后油罐灌满？答： 小时. x+2y?z=6
16.（2001年希望杯竞赛题）已知x，y，z为实数，且满足{，那么??2+
x?y+2z=3y2+z2的最小值是 .
17.（北京市第12届迎春杯竞赛题）甲、乙、丙、丁四人的平均年龄是30多岁，若甲的年龄是乙的，乙的年龄是丙的，丁比甲大1岁，那么，四人的平均年龄是 岁5
2
4
3
三、解答题
18.（4、5）（数学、初中数学竞赛、一元一次方程、绝对值方程、解答题）
设a，b为有理数，且|a|>0，方程||x?a|?b|=3?有三个不相等的解，求b的值. 分析：由题意知a≠0，然后去绝对值，知道b±3≧0，最后解出方程有四个跟，而由题意知，其中必有两根相等，从而求解.
详解：去绝对值知道b+3，b-3都是非负数，而且如果其中一个为0，则得3个解；如果都不是0，则得4个解，故??=3. 技巧：去绝对值，而后对各值进行分别讨论.
易错点：b±3≧0这个隐藏条件容易被忽略，最后求得错误结果为±3.
19. （4、5）（数学、初中数学竞赛、一元一次方程、解答题） 如果a，b为定值，关于x的方程
2????+??3
???????6
=2+，无论k为何值它的根总是1，求a，b的值.
分析：将方程变形得k(4χ+b)+2a?χ=12 , 令(4χ+b)=0 将χ=1代入即可. 详解：把??=1代入方程，得(??+4)??=13?2??，所以??+4=0且13?2a=0,解 得 ??=
132
,??=?4.
132
答：a、b的值分别为、?4 . 技巧：把k分离出来，令系数为0. 易错点：容易出现思路紊乱 .
21. （4、5）（数学、初中数学竞赛、绝对值方程、解答题）
已知|x+2|+|1?x|=9?|y?5|?|1+y|，求??+y的最大值与最小值.
分析：已知等式可化为|??+2|+|???1|+|??+1|+|???5|=9.由绝对值的几何意 义可求解.
详解：|x+2|+|1?x|=9?|y?5|?|1+y||??+2|+|???1|+|??+1|+|???5|=9 由绝对值的几何意义可知，当?2≤x≤1且?1≤y≤5时，上式成立，故当x=?2,y=?1时，x+y有最小值-3；当x=1,y=5时，x+y的最大值为6. 答：??+y的最大值与最小值分别为6、-3. 技巧：利用绝对值的几何意义.
易错点：将绝对值放到数轴上时对应点容易出错.
22.（四川省竞赛题）有收录机、钢笔和书包三种物品，若购买3台收录机，6枝钢笔，2个书包共需302元；若购买5台收录机，11枝钢笔，3个书包共需508元，问：收录机、钢笔、书包的价格分别为多少元？
23.（第2届香港华杯赛竞赛题）已知x1，x2，x3…，xn中每一个数值只能取?2.0. 24.（首届华杯赛竞赛题）某贵重金属工厂职员误把每克售0.73元的贵重金属看成 为每克售0.7元.当他售出6公斤后，出纳员发觉工厂损失了146元.求b的值. 25.（黄冈市竞赛题）某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分 钟有一辆电车迎面开来，假定此人和电车都是匀速前进，则电车是每隔多少分钟 从起点站开出一辆？
26.（北京市第12届迎春杯竞赛题）甲、乙、丙三位工人生产同一种零件，假定甲、乙 丙三人每分钟生产的零件不变，当甲工作3分钟后，乙才开始生产，当乙开始工 作3分钟后，丙才开始生产.现已知乙工作12分钟时，所生产的零件数与甲生产 的零件数相同.
问：(1)丙工作70分钟时，谁生产的零件最多？ (2)丙工作80分钟时，谁生产的零件最多？
27.（北京市迎春杯竞赛题）如图7-3所示，6个小圆圈中的3个分别填有15，26，31三个数，而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圈里的数的和，那么在三个空白圆圈中最
小的一个数是多少？
28.（2006年国际城市竞赛题）老师说：“a，b两个数满足关系式
a+b?ab=1.已知a不是整数，则对b可作出怎样的结论?” 学生A说：“b也不是整数.”学生B说：“我认为b必定是正整数，”学生C说：“我 认为b必定是负整数.”三位同学谁说的正确的呢？
29.（美国纽约市中学生数学竞赛题）一列火车长xm，匀速通过300m的隧道用时25s ，隧道顶部一盏固定的灯在火车上照了10s，求火车的长度.（光速为3.0×（10）8 m/s)30.（1997年河南省竞赛题）某人沿着向上移动的自动扶梯从顶端向下走到底部用 了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底部向上走到顶端只用了1分钟30秒，那么此 人不动，乘着扶梯从底部到顶端需要几分钟？又若停电，此人沿扶梯从底部走到 顶端需几分钟？（假定此人上、下扶梯的行走速度相同） 答案与解析 1.D ??=
2001??+1
为整数，又因为2001=1×3×23×29,??+1可取±1，±3，±23，
+29,± (3 × 23) ,±(3×29), ± (23× 29), ±2001共 16 个值. 2.B 易求出x=101,y=101,所以??=???
3.B 用视察法易贝??=?√3符合原方程，而原方程显然只有一个解，故x=?√3. 4.A ??=3×2??,??=3×2???2，所以x=4y?
5.D设出发时甲的速度为a米／分，乙的速度为b米／分，第15分钟甲提高的速度为x米／分，所以第15分钟甲的速度为（a+b)米／分，则 (??+?????)×3=15(?????)??=96
(??+?????)×5=400 {，解得{??=384.
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??=40015??+(??+??)=10000
6
1
1
x=5
6.D 解方程组得:{6?2a，要使方程组的解是一对异号的数，只需
y=5
43a?4<0 3a?4>0
{或{即a<3或a>3. 6?2a>06?2a<0
3a?4
???(?????)=10?① 7.A 设甲现在x岁，乙现在y岁，则{
??+(?????)=25?②由②一①得?????=5.
8.C 当a<0时，原方程无解；当a≥0时， |x?2|=1±a.
(1)若a>1，则|???2|=1???<0，无解，所以|???2|=1+??,??只能有两个 解x=3+a和??=1???;
(2)若0≤a≤1，则由|???2|=1+??得??=1???或x=3+a.由|x?2|=
1?a得??=1+??或x=3?a.所以原方程的解为x=3+a,3?a,1+.a,1?a为使方程有三
初中培优竞赛 第7讲 一次方程和一次方程组
