离散数学网络课程形成性考核2形考任务

★ 形成性考核作业 ★

离散数学作业2

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业．

要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word文档

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题

1．设集合A?{1,2,3},B?{1,2}，则P(A)-P(B )= {{3}, {1,2,3}, {1, 3 }, {2,3}} ，A? B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．

2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．

3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B} 则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3> ．

4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系

R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B}

那么R－1＝{<6，3>，<8，4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，则R具有的性质是 反自反性，反对称性 ．

6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，若在R中再增加两个元素, ，则新得到的关系就具有对称性． 7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．

8．设A={1, 2}上的二元关系为R={|x?A，y?A, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．

9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包

1

★ 形成性考核作业 ★

含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．

10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 {<1, a >, <2, b >}，或{<1, b >, <2, a >}

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系． (1) R不是自反关系，因为没有有序对<3,3>. (2) R不是对称关系，因为没有有序对<2,1>

2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立？并说明理由．

解：成立．

因为R1和R2是A上的自反关系，即IA?R1，IA?R2。 由逆关系定义和IA?R1，得IA? R1-1；

由IA?R1，IA?R2，得IA? R1∪R2，IA? R1?R2。

所以，R1-1、R1∪R2、R1?R2是自反的。

3．若偏序集的哈斯图如图一所示，

a ? b ? d ? ? c ? g

? h

则集合A的最大元为a，最小元不存在．

错误．

e ? 2

? f 图一

★ 形成性考核作业 ★

集合A的最大元不存在，a是极大元．

4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：A?B，并说明理由．

(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}； (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}． 解：(1) f不能构成函数．

因为A中的元素3在f中没有出现． (2) f不能构成函数．

因为A中的元素4在f中没有出现． (3) f可以构成函数．

因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．

三、计算题

1．设E?{1,2,3,4,5},A?{1,4},B?{1,2,5},C?{2,4}，求：

(1) (A?B)?~C； (2) (A?B)- (B?A) (3) P(A)－P(C)； (4) A?B． 解：(1)因为A∩B=｛1,4｝∩｛1,2,5｝=｛1｝, ~C=｛1,2,3,4,5｝-｛2,4｝=｛1,3,5｝ 所以 (A∩B ) ?~C=｛1｝?｛1,3,5｝=｛1,3,5｝ （2）(A?B)- (B?A)= {1,2,4,5}-{1}={2,4,5}

(3)因为P(A)=｛?,｛1｝, ｛4｝, ｛1,4｝｝ P(C)=｛?,｛2｝,｛4｝,｛2,4｝｝

所以 P(A)-P(C)={ ?,{ 1},{ 4},{ 1,4}}-{?,{ 2},{ 4},{2,4 }} (4) 因为 A?B={ 1,2,4,5}, A?B={ 1}

所以 A?B=A?B-A?B={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}

3

★ 形成性考核作业 ★

2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（A?B）； （2）（A∩B）； （3）A×B． （1）A?B ={{1},{2}}

（2）A∩B ={1,2} （3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，

<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>, <2, {1,2}>}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={|x?A，y?A且x+y?4}，S={|x?A，y?A且x+y<0}，试求R，S，R?S，S?R，R-1，S-1，r(S)，s(R)． 解：

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}, \\ R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2 >,<2,2>,<1, 3>} S=?, S-1 =?

r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} R?S=? S?R=?

4

★ 形成性考核作业 ★

4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．

(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元．

解：

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>} （2）关系R的哈斯图如图四

（3）集合B没有最大元，最小元是：2 2 7 3 5

1 图四：关系R的哈

斯图

四、证明题

1．试证明集合等式：A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)． 证明：设，若x∈A? (B?C)，则x∈A或x∈B?C，

即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C． 即x∈A?B 且 x∈A?C ，

即 x∈T=(A?B) ? (A?C)，

所以A? (B?C)? (A?B) ? (A?C)．

反之，若x∈(A?B) ? (A?C)，则x∈A?B 且 x∈A?C， 即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，

即x∈A或x∈B?C， 即x∈A? (B?C)，

所以(A?B) ? (A?C)? A? (B?C)． 因此．A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．

2．试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)． 证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)， 若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，

也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以S?T． 反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C， 即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C

也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T?S． 因此T=S．

5

★ 形成性考核作业 ★

3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A?B = A?C，且A??，则B = C．

证明：设x?A，y?B，则?A?B，

因为A?B = A?C，故? A?C，则有y?C，

所以B ? C．

设x?A，z?C，则? A?C，

因为A?B = A?C，故?A?B，则有z?B，所以C?B． 故得A=B．

4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

6