第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( ) A．4个 C．2个
B.3个 D．1个
解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，
P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故
“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
4．(2018·高考全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线
AE与CD所成角的正切值为( )
A.2
25 2
B.3 27 2
C.D.
解析：选C.
1
如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝5.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝5．下列命题中，真命题的个数为( )
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l. A．1 C．3
B.2 D．4
BEAB5
.故选C. 2
解析：选B.根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.
6．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．
解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．
答案：①
7．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
解析：
2
取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1
的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD， 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， 所以C1D＝2AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2， 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2. 答案：2
8．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共
面又与CC1共面的棱有________条．
解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．
答案：5
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1
的交点．求证：D1、H、O三点共线．
证明：如图，连接BD，B1D1， 则BD∩AC＝O，
3
2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系分层演练文
