例2 xy''?y'?x2?0 解得通解为 y?19x?C1lnx?C2
3三、y''?f(y,y')
dpdxdpdydydxdpdy
令 y'?p, 则 y''???p，
于是可将其化为一阶微分方程。
特点 不显含x。 例3 yy''?y'2?y'?0
解 化为一阶线性或可分离变量的微分方程，解得通解为
ln(1?C1y)?C1x?C2。
小结：本节讲述了三种容易降阶的高阶微分方程及其求解方法
第七节 高阶线性微分方程 学习目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的
特解及通解的形式。
学习重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 学习难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 学习内容：
1、定义：方程
dydx22?P(x)dydx?Q(x)y?f(x) (1) 称为二阶线性微分方程。
当f(x)?0时称为齐次的，当f(x)?0时称为非齐次的。 为求解方程（1）需讨论其解的性质 2、解的性质
d2y2dx?P(x)dy?Q(x)y? 0 （2） dx性质1 若y1(x),y2(x)是（2）的解，则y?C1y1(x)?C2y2(x)也是（2）的解，
其中C1，C2为任意常数。
称性质1为解的叠加原理。
但此解未必是通解，若y1(x)?3y2(x)，则y1(x)?(C2?3C1)y2(x)，那么
C1y1(x)?C2y2(x)何时成为通解？只有当y1与y2线性无关时。
线性相关 设y1,y2,?,yn是定义在区间I内的函数，若存在不全为零的数k1,k2,?,kn
使得
k1y1?k2y2???knyn?0
恒成立，则称y1,y2,?,yn线性相关。 线性无关 不是线性相关。 如： 1,cos2x,sin2x线性相关，
2 1,xx,线性无关。
对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时，
线性无关。
性质2 若y1(x),y2(x)是（2）的两个线性无关的特解，那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
（C1，C2为任意常数）是方程（2）的特解。
此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。 如：y1?cosx,y2?sinx是y''?y?0的两个解，又
y1y2?ctgx?常数。因此，
y?C1cosx?C2sinx为y''?y?0的通解。
x又(x?1)y''?xy'?y?0的解y1?x,y2?e亦线性无关。
x则y?C1x?C2e为其通解。
下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。 性质3 设y*是（1）的特解，Y是（2）的通解，则y?Y?y*是（1）的通解。
22如：y''?y?x， y?C1cosx?C2sinx为y''?y?0的通解，又y*?x?2是特解，
则y?C1cosx?C2sinx的通解。
性质4 设（5）式中f(x)?f1(x)?f2(x)，若y1*,y2*分别是
dydx22?P(x)dydx?Q(x)y?f1(x)，
dydx22?P(x)dydx?Q(x)y?f2(x)
的特解，则y1*?y2*为原方程的特解。 称此性质为解的叠加原理。
小结：本节讲述了二阶线性方程解的结构，包括齐次线性方程的通解，非齐线性
方程的特解及通解的形式。
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 学习目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特
征根的三种情况，通解的三种不同形式。
学习重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形
式。
学习难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 学习内容：
若dydx22?P(x)dydx?Q(x)y?0 （2）中P(x),Q(x)为常数，称之为二阶常系数齐次
微分方程，而(2)称之为二阶变系数齐次微分方程。
记：y''?py'?qy?0 （3） 将y?e代入（3）中有(r?pr?q)e设r1,r2为（4）的解。
2（1）当r1?r2即p?4q?0时，y?C1er1xrx2rx ?0，称r?pr?q?0为（3）的特征方程。
2?C2er2x为其通解。
2rx（2）当r1?r2?r即p?4q?0时，（3）只有一个解y?Ce。
（3）当r???i?即p?4q?0时，有y?e利用欧拉公式可得实解，故通解为
y?e?x2(??i?)x是解。
(C1cos?x?C2sin?x)。
例 求下列微分方程的通解
1、y''?2y'?3y?0 2、y''?2y'?5y?0
解 过程略。
通解为 （1）y?C1e?x?C2e3x，
（2）y?ex(C1cos2x?C2sin2x)。
上面结果可扩展到n阶常系数微分方程。 例 求 y(4)?2y'''?5y''?0。
通解为 y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)。
小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当
特征根形式不同时，通解具有不同形式。
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 学习目的：掌握二阶常系数非齐次线性微分方程当f(x)为Pm(x)e?x与
e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]时，特解的形式及解法。
?x学习重点：当f(x)为Pm(x)e?x与e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]时特解的形式及解
法。
学习难点：当f(x)为Pm(x)e?x与e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]时特解的不同形式。 学习内容：
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
y''?py'?qy?f(x)，
这里我们只讨论f(x)为Pm(x)e一、f(x)=Pm(x)e?x?x?x与e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型。
利用待定系数法求通解。
?xk?x据分析可设特解y*?Qm(x)e，推得y*?xQm(x)e其中Qm(x)是与Pm(x)同次多
项式。k按?是特征方程的单根、重根、不是根可取为1、2、0。
例 求下列方程的特解或通解。
1、y''?2y'?3y?3x?1，（特解） y*??x?13。
12(x?2x)e22x2、y''?5y'?6y?xe2x， （通解） y?C1e2x?C2e3x?。
二、f(x)=e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]
利用上面结果及欧拉公式、性质推得
y*?xe[Rmk?x(1)(x)cos?x?Rm(2)(x)sin?x]。
（1） 当??i?是特征根时，k?1， （2） 当??i?不是特征根时，k?0。 例 求下列微分方程的特解
y''?y?xcos2x.
解 过程略。特解为 y*??x3cos2x?49sin2x。
小结：本节讲述了二阶常系数非齐次线性微分方程，当f(x)=Pm(x)e?x与
f(x)=e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]时，特解的不同形式及求解方法。
?x
微分方程求解
