22y5如：（1）y'?2xy?2xe?x （2）y'?x?1?(x?1)2
2、解法
当Q(x)?0时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当Q(x)?0时，为求其解首先把Q(x)换为0，即
dydx?P(x)y?0 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解
y?Ce??P(x)dx 为求（1）的解，利用常数变易法，用u(x)代替C，即y?u(x)e??P(x)dx于是，
dy?u'e??P(x)dx?ue??P(x)dxdx[?P(x)]
代入（1），得
u??Q(x)e?P(x)dxdx?C
故 y?e??P(x)dx(?Q(x)e?P(x)dxdx?C)。
3、例 求方程
5y'?2yx?1?(x?1)2 的通解.
解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。
dy2ydx?x?1?0，
dyy?2dxx?1，
lny?2ln(x?1)?lnC，
y?C(x?1)2 用常数变易法。把C换成u(x)，即令
2）3）4）5） （
（
（
（
2y?u(x?1)，
则有 代入（1）式中得
dydx?u'(x?1)?2u(x?1)，
21u'?(x?1)2，
两端积分，得 u?233(x?1)2?C。
再代入（4）式即得所求方程通解
2y?(x?1)[233(x?1)2?C]。
另解 我们可以直接应用（3）式
?P(x)dxP(x)dxy?e?(?Q(x)e?dx?C)
得到方程的通解，其中，
P(x)??2x?15， Q(x)?(x?1)2
代入积分同样可得方程通解
2y?(x?1)[233(x?1)2?C]，
此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3）式求解。
二、贝努力方程
1、定义
dydx?P(x)y?Q(x)y (n?0,1)称为贝努力方程。
n当n?0,1时，为一阶线性微分方程。 2、解法 两边同除y
y?nndydx?P(x)y?n1?n?Q(x)
令z?y1?n，则有
dzdx?(1?n)y1dzdydx
1?ndx?P(x)z?Q(x)
而 为一阶线性微分方程，故
dzdx?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)
?(1?n)P(x)dx(1?n)P(x)dxz?e?(?(1?n)Q(x)e?dx?C)。
贝努力方程的解题步骤
（1） 两端同(1?n)yn （2） 代换z?y1?n
（3） 解关于z的线性微分方程 （4） 还原
例 解方程 xy'?y?x3y6 解 过程略，通解为 y?5?52x?Cx。
35三、利用变量代换解微分方程
例 解方程 xy'?y?y(lnx?lny) 解 令 xy?u，则
dudx?y?xdydxdudx，于是
?ylnu?uxlnu
解得 u?eCx， 即 xy?eCx
例 解方程
dydx1x?y?
解 过程略，通解为 1?x?y?Ce。
y小结：本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努力方程的解法，利用常数变易法，
和变量代换法来解微分方程。
第五节 全微分方程 学习目的：掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察
法找积分因子
学习重点：全微分方程的解法，观察法找积分因子
学习难点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 学习内容：
1、定义 若P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0 （1）恰为某一个函数的全微分方程，即存在
某个u(x,y)，使有du?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，则称（1）为全微分方程。
可以证明 u(x,y)?C是（1）式的隐式通解。
2、解法 若P(x,y)，Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数，条件
?P?y?Q?x?
是（1）式为全微分方程的充要要条件。
通解为 u(x,y)??xx0P(x,y)dx??yy0Q(x,y)dy?C。
例1 求解 (5x4?3xy2?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy?0 解 令 P?5x4?3xy?P?y2?y23，Q?3x2y?3xy2?y2 ?Q?x则
?6xy?3y?
此方程为全微分方程。于是
u(x,y)??x0(5x?3xy322242?y)dx?33?y0ydy2 ?x?5xy?xy?13
y3通解为 x?3、积分因子
若?P?y?532xy?xy223?13y3?C
?Q?x，则（1）式不是全微分方程，但若有一个适当函数???(x,y)，使（1）
式乘以?(x,y)后为全微分方程，称函数?(x,y)为积分因子。
一般积分因子不好求，我们只要求通过观察找到积分因子。 例2 方程ydx?xdy?0 不是全微分方程，但
xydx?xdyd()? 2yy1y2于是将方程乘以 ，则有
ydx?xdyy2?0，
1xx即 d()?0，从而?C为其通解。此时2为其积分因子。
yyy
注意 积分因子一般不唯一。 如上述方程，若同乘
1xy有
dxx?dyy?0，
于是 d(lnx?lny)?0，即
xy?C为其通解。
1xy也是其积分因子。
小结：本节讲述了全微分方程的解法，用观察法长积分因子，使之满足全微分方
程的充要条件。
第六节 可降阶的高阶微分方程 学习目的：掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法
学习重点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习难点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习内容：
一、y(n)?f(x)型
令 y(n?1)?z，则原方程可化为 于是 z?y(n?1)?dzdx?f(x)，
?f(x)dx?C1
同理 y(n?2)??[?f(x)dx?C1]dx?C
。。。 。。。
n次积分后可求其通解。
其特点：只含有y(n)和x，不含y及y的1~(n?1)阶导数。
12x?15 例1 解方程 y'''?
解得 y?115(2x?1)2?C1x?C2x?C3 为其通解。
2二、y''?f(x,y')
令 y'?p, 则 y''?p'，于是可将其化成一阶微分方程。 特点 含有y'',y',x，不含y。
微分方程求解
