2y?x?C。
但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程
dydx?2xy （3）
2就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数y积分
22xydx ?求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以
dxy2，使方程（3）变为
dyy2?2xdx，
这样，变量x与y已分离在等式的两端，然后两端积分得
?1y2?x?C
或 y??其中C是任意常数。
1x?C2 （4）
可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方
程（3）的通解。
一般地，如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx （5）
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
假定方程（5）中的函数g(y)和f(x)是连续的，设y??(x)是方程的解，将它代入（5）
中得到恒等式
g[?(x)]?'(x)dx?f(x)dx.
将上式两端积分，并由y??(x)引进变量y，得
?g(y)dy??f(x)dx
设G(y)及F(x)依次为g(y)和f(x)的原函数，于是有
G(y)?F(x)?C （6）
因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果y??(x)是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在g(y)?0的条件下，y??(x)也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当g(y)?0时，
F'(x)G'(y)f(x)g(y)?'(x)??,
这就表示函数y??(x)满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中g(y)和f(x)是连续的，且g(y)?0，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。
例1 求微分方程
dydx?2xy （7）
的通解。
解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得
dyydyy?2xdx
两端积分
???2xdx,
得 lny?x?C1, 从而 y??eC12x?C12??e1eCx2。
又因为?e仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解
y?Cex2。
例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断
减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M
成正比。已知t?0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数
dMdt。由于铀的衰变速度与其含量成正
比，得到微分方程如下
dMdt???M, （8）
其中?(??0)是常数，叫做衰变系数。?前的负号是指由于当t增加时M单调减少，即
dMdt?0的缘故。
由题易知，初始条件为
M|t?0?M0
方程（8）是可以分离变量的，分离后得
dMMdMM???dt. ?两端积分
??????dt.
以lnC表示任意常数，因为M?0，得
lnM???t?lnC,
即 M?Ce??t.
是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得
M0?Ceo?C
??t故得 M?M0e.
由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。
小结：本节讲述了一阶微分方程中可分离变量的微分方程，及其解法。
第三节 齐次方程 学习目的：熟练掌握齐次微分方程的解法 学习重点：齐次方程的解法 学习难点：齐次方程的解法 学习内容：
1、 齐次方程的形式
如果一阶微分方程
y'?f(x,y)
中的函数f(x,y)可写成
y的函数，即f(x,y)??()，则称这方程为齐次方程。例如
yxx(x?y)dx?(y?x)dy?0
是齐次方程，因为其可化为
dy?x?y1?ydxx?y?x1?y. x2、 齐次方程
f(x,y)??(yx) 的解法。
作代换 u?yx，则y?ux，于是
dydx?xdudx?u.
从而 xdudx?u??(u)， du?(u)?udx?x，
分离变量得
du?(u)?u?dxx
两端积分得
?du?(u)?u??dxx
求出积分后，再用yx代替u，便得所给齐次方程的通解。如上例
xdudx?u?1?u1?u
分离变量，得 (1?u)dudx1?u2?x
积分后，将u=yx代回即得所求通解。
例1 解方程
xy'?y(1?lny?lnx)。
解 原式可化为
1） （
dydx?yx(1?lnyx)，
令u=于是
yx，则
dydx?xdudx?u，
xdudx?u?u(1?lnu) du?dxx分离变量 两端积分得
ulnu
lnlnu?lnu?lnC lnu?Cx
即 u?eCx。 故方程通解为 y?xeCx。 3、 练习
1 x2y'?y2?xy 通解为 lny?yx?C
?12 (?3x2?y2)dx?2xydy?0 通解为 x2?y2?Cx
小结：本节讲述了齐次方程，及其解法
第四节 一阶线性微分方程 学习目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换
解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法
学习重点：一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程 学习难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 学习内容： 一、线性方程
1、定义 方程
dydx?P(x)y?Q(x) （1）称为一阶线性微分方程。
特点 关于未知函数y及其导数y'是一次的。 若Q(x)?0 若Q(x)?0，称1）为齐次的； ，称1）为非齐次的。
微分方程求解
