all~试题 课时作业(十九)B
[第19讲 三角函数y=Asin?ωx+φ?的图象与性质及三角函数模型的简单应用]
[时间:45分钟 分值:100分]
基础热身
ππ
x+φ??|φ|
ππ
A.T=6,φ= B.T=6,φ= 63ππ
C.T=6π,φ= D.T=6π,φ= 63
π
2x+?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍长度,2.将函数y=sin?4??
π
再向右平移个单位长度,所得到的图象解析式是( )
4
A.f(x)=sinx B.f(x)=cosx C.f(x)=sin4x D.f(x)=cos4x
π
A>0,ω>0,|φ|
f(x)的解析式是( )
图K19-3 π3x+? A.f(x)=sin?3??π2x+? B.f(x)=sin?6??πx+? C.f(x)=sin??3?π2x+? D.f(x)=sin?3??
πx
4.有一种波,其波形为函数y=sin的图象,若在区间[0,t](t>0)上至少有2个波峰(图
2
象的最高点),则正整数t的最小值是________.
能力提升
5.若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π,则它的图象的一个对称中心为( )
ππ
-,0? B.?,0? A.??8??8?
π
-,0? C.(0,0) D.??4?
ππ
x+?,g(x)=cos?x-?,则下列结论中正确的是( ) 6.已知函数f(x)=sin??2??2?A.函数y=f(x)·g(x)的周期为2 B.函数y=f(x)·g(x)的最大值为1
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all~试题 π
C.将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象
2π
D.将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象
2ππ
7. 设函数f(x)=2cosx-,若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|
23
的最小值为( )
1
A.4 B.2 C.1 D.
2
图K19-4 8. 设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图K19-4所示,△
1?
KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f??6?的值为( )
3113
A.- B.- C.- D.
4424
ππ
2x+?的图象向右平移个单位得函数g(x)的图象,再将g(x)的图象9.将函数f(x)=sin?3??6
上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到h(x)的图象,则g(x)与h(x)的解析式分别为( )
ππ2x+?,h(x)=sin?x+? A.g(x)=sin?6???6?
B.g(x)=sin2x,h(x)=sinx
ππ2x+?,h(x)=sin?x+? C.g(x)=sin?6???12?
D.g(x)=sin2x,h(x)=sin4x
图K19-5 π
10.如图K19-5所示的是函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|∈0,图象的一部
2
π?分,则f??2?=________.
ππ
其中A>0,0<ω<2,-<φ
出的一组数据如下表:
x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 -1 -2 经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是________.
π
ωx-?(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相12. 已知函数f(x)=3sin?6??
π
0,?,则f(x)的取值范围是________. 同.若x∈??2?
13. 若函数y=f(x)同时具有下列三个性质:(1)最小正周期为π;(2)图象关于直线x
πππ
-,?上是增函数,则y=f(x)的解析式可以是________. =对称;(3)在区间??63?3
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all~试题 π
其中A>0,ω>0,0<φ
(1)求f(x)的解析式;
ππ?(2)当x∈??12,2?时,求f(x)的值域.
15.(13分)图K19-6是某简谐运动的一段图象,它的函数模型是f(x)=Asin(ωx+
ππ
φ)(x≥0),其中A>0,ω>0,-<φ<.
22
(1)根据图象求函数y=f(x)的解析式;
1
(2)将函数y=f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)
2
π?
的图象,求函数y=g(x)在??2,π?上的最大值和最小值.
图K19-6
难点突破
16.(12分)如图K19-7是某简谐运动的一段图象,其函数模型是f(x)=Asin(ωx+
ππ
φ)(x≥0),其中A>0,ω>0,-<φ<.
22
(1)根据图象求函数y=f(x)的解析式;
π
x+?,实数α满足0<α<π,且?πg(x)dx=3,求α的值. (2)若函数g(x)=f??6??
α图K19-7
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【基础热身】
1
1.A [解析] ∵图象过点(0,1),∴2sinφ=1,即sinφ=,
2
ππ2π
∵|φ|<,∴φ=,T==6,故选A.
26π
3
π
2x+?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2.A [解析] 将函数y=sin?4??ππ
x+?的图象;再向右平移个单位长度,得到函数y=sinx的图象,2倍,得到函数y=sin??4?4
故选A.
5ππ?2ππππ-=π,所以ω=2,令2×+φ=,得φ=,3.B [解析] 显然A=1,=4??126?ω626
故选B.
πxπx
4.5 [解析] ∵函数y=sin的周期T=4,y=sin的图象在[0,t]上至少有2个波峰,
22
5
∴t≥T=5,故正整数t的最小值是5.
4
【能力提升】
π2π2πωx+?,5.A [解析] f(x)=sinωx+cosωx=2sin?则这个函数的最小正周期是,令4??ωω
π2x+?, =π,解得ω=2,即函数f(x)=sinωx+cosωx=2sin?4??
π
-,0?为其一个对称中心,故选A. 把选项代入检验,点??8?
1
6.D [解析] f(x)=cosx,g(x)=sinx,f(x)g(x)=cosxsinx=sin2x,故选项A、B中的结
2
论都不正确;
ππ
x+?=-sinx的图象; 把f(x)=cosx的图象左移个单位后,得到的是函数y=cos??2?2
ππ
x-?=sinx的图象,即g(x)把f(x)=cosx的图象右移个单位后,得到的是函数y=cos??2?2
的图象,故选D.
2π
7.B [解析] 由已知函数解析式,得周期T==4;
π2
因为对于任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与
1
最大值,故|x1-x 2|的最小值为T=2,故选B.
2
2π
8.D [解析] 由KL=1,得周期T=2,则ω==π;
T
由△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,
11得A=|KL|=;
22
ππ1
πx+?, 由f(x)是偶函数,得φ=,即f(x)=sin?2?22?
1?1?ππ?12π3
+=sin=,故选D. ∴f?=sin?6?2?62?234
ππ?2?x-π?+π?=2x+?的图象向右平移个单位,9.B [解析] 将函数f(x)=sin?得y=sin3??6??6?3?sin2x的图象,即g(x)=sin2x,
再将g(x)的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得y=sinx的图象,即h(x)=
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all~试题 sinx,故选B.
10.3 [解析] 由于最大值和最小值之差等于4,故A=2,B=1.
ππ0,?,得φ=. 由于2=2sinφ+1,且|φ|∈??2?6π
由图象知ω(-π)+φ=2kπ-,
2
2
得ω=-2k+(k∈Z).
3
2π2又>2π,∴0<ω<1.∴ω=. ω3
2π?∴函数f(x)的解析式是f(x)=2sin??3x+6?+1.
π??2×π+π?+1=3. ∴f?=2sin?2??326?ππ?
11.y=2sin??3x+6? [解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x=1对称,故x=1与函数图象的交点应是最高点或最低点,故数据(1,0)错误,从而由(4,-2)在图象上知A=2,由过(0,1)点知2sinφ=1,
πππ∵-<φ<,∴φ=,
226
π
ωx+?,再将点(2,1)代入得, ∴y=2sin?6??π
2ω+?=1, 2sin?6??
πππ5π
∴2ω+=+2kπ或2ω+=+2kπ,k∈Z,
6666
π
∵0<ω<2,∴ω=,
3
ππ?∴函数解析式为y=2sin??3x+6?.
3ππ5ππ
-,3? [解析] 由题意知,ω=2,因为x∈?0,?,所以2x-∈?-,?,由12.??2??2?6?66?
π3π
-?=-,最大值为3sin=3,所以f(x)的取值范围三角函数图象知:f(x)的最小值为3sin??6?22
3
-,3?. 是??2?
π
2x-?(答案不唯一) [解析] 选择f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),由函数的最小13.f(x)=sin?6??
正周期为π,得ω=2;
π2ππ
由图象关于直线x=对称,得+φ=+kπ,k∈Z,
332
ππππ
2x-?,满足在区间?-,?上是增函数. 取k=0,得φ=-,则f(x)=sin?6???63?6
2
2x-π?等). (说明本题的答案不唯一,y=f(x)的解析式也可以是f(x)=cos?3??
2π
,-2?得,A=2. 14.[解答] (1)由最低点为M??3?
πTπ2π2π
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得,=,即T=π,所以ω===2.
222Tπ
2π2π
,-2?在函数f(x)的图象上得,2sin?2×+φ?=-2, 由点M?3?3???4π?即sin??3+φ?=-1.
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