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谈谈新课程改革中“算法循环结构流程图”的教学
论文摘要：本文是分析新教材中“算法循环结构流程图”的类型、循环结构的退出条件、循环结构与其它结构的联系、以及设计循环结构流程图应注意的事项等四个方面，其中重点谈到如何把握和设计循环结构的退出条件，着手探索算法循环结构流程图的教学。 关 键 词：流程图；计数变数；循环结构
为了加强高中课程与社会发展、科技进步以及学生生活的联系，于是在2004年高中课程改革时，高中数学新教材就增加了算法知识，并放在数学必修Ⅲ的第一章。其中流程图是算法中的重点，而循环结构的流程图是一个难点，学生在学习时感到最困难的是循环结构出口条件的把握，也就是说何时应该退出循环结构执行下一步？退出时该用“>”还是“≥”，用“<”还是 “≤”？计数变量、累加变量的初始值与终值分别是什么？循环结构中的当型与直到型有何区别？等等，学生感到茫然。若学生掌握了流程图，编程序就容易了，因此我认为，加强对算法中循环结构的分析与研究很有必要。下面结合具体问题谈谈我在学习新教材和实施“算法中循环结构流程图”教学过程中的认识和体会。
正如我们知道的，“在一些算法中，也经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处步骤的情况，这就是循环结构。反复执行的步骤称为循
满足条件 否 图1当型循环结构 循环体 是 环体。”【1】那么我们在教学中应该关注的是什么呢？
关注的问题一：循环结构有哪些类型？
根据对条件的不同处理，循环结构分为如下两种， （一）当型（while型）。“当型循环在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止；” 【2】当型循环有时也称为“前测试型”循环（如图1）。
（二）直到型（until型）。“直到型循环在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止。”【3】直到型循环又称为“后测试型”循环（如图2）。
对同一个问题，一般来说既可以用当型，又可以用直到型。当然其流程图（即程序框图）是有所不同的。 例1 设计一个计算1+2+3+…+100的值的程序框图。其当型循环结构程序框图是图3，直到型循环结构程序框图是图4。
循环结构不能是永无终止的“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要判断框作出判断，因此，循环结构中一定包含判断框。
从以上例子还可看出当型循环的判断条件
结束 图3当型循环结构
结束 图4直到型循环结构
I<100? 否 输出S 是 I=I+1 S=S+I 否 I>=100? 是 输出S S=S+I I=0 S=0 I=0 开始 开始 满足条件 是 图2直到型循环结构
否 循环体 S=0 I=I+1 “I<100?”与直到型循环的判断条件 “I>=100?”刚好是相反的。即在同一算法中，当型循环与直到型循环的条件互为对立。
关注的问题二：如何把握和设计循环结构的退出条件？
这里有必要先介绍计数变量和累加变量的作用：计数变量是用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加变量（或称累积变量）用于输出结果。
（一）计数变量和累加变量（或称累积变量）一般是同步执行的，计数一次，就累加（或累积）一次。
例1中“I”是计数变量，“S”是累加变量。每对I计数一次，就对S累加一次，当I=100时，退出循环，此时循环次数刚好为100次。
（二）有时计数变量并没有准确记录循环次数。如：
例2 设计求1+3+5+7+…+31的流程图。
例2流程图（图5）用的是直到型循环，当中的s是累加变量，i是计数变量，这里每对s累加一次，就对i计数一次，当i>31(即i=33)时要退出循环体，但此时循环次数却只有16次；
（三）有时计数变量有两个，一个用来判断循环是否结束，另一个用来准确记录循环次数。如：
例3 设计求1×2×4×7×…×46的程序框图。
例3程序框图（图6）是直到型循环，当中t与i都是计数变量，p是累积变量，每对t和i计数一次,就对p累积一次，其结束 图7 输出“n是质数” 否 d≥n-2? 是 如何退出循环？ d+1整除n? 开始 开始 t=0,i=1, p=1 s=0,i=1 t=t+1 s=s+i i=i+t i=i+2 否 p=p×i 否 i>46? 是 开始 输出p i>31? 是 输出s 结束 图5直到型循环结构 d=0 结束 图6直到型循环结构 输入n n>2? 是 d=d+1 否 否 是 输出“n不是质数” 中t是控制循环次数，i是判断循环是否终止。当i>46(即i=56，t=9) 时，退出循环体，此时循环次数刚好是9次，只是在设计框图时不需人为算出t=9。
（四）有时要退出循环体，有计数变量还是无法真正退出循环结构的。如 例4 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。算法如下：
第一步，判断n是否等于2。若n=2，则n是质数；若n>2，执行第二步。 第二步，依次从2～（n-1）检验是不是n的因子，即整除n的数。若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
根据算法直接画出的程序框图（图7），这里d是计数变数，但此时当中红色粗线部分问题还没解决。
这就需要增加一个变量flag，它是用来判断是否为质数的一个变量，该变量的取值只有两个，“1”和“0”，若flag=1，则是质数；否则不是质数。flag并没有实质的含义，那就象一个人的姓名能代表他本人，其外号也可代表他本人，学号同样能代表他本人。而一般来说用学号管理更方便。“flag=1”只是质数的一个代号。当然代号可以选别的，如用b变量，“b=1是质数的代号，而当b≠1时则不是质数”等等都行。直到型循环结构的图8是正确的。
该例中有计数变量d，d与flag的取值都是用于判断循环是否终止，在这里两变量缺一不可。我们在这里就把类似于 “flag” 这样作用的变量叫做标志变量。标志变量并不记录循环次数，它只用来控制循环体结束。
结束 图8直到型循环结构
是 flag=1? 是 输出“n是质数” 输出“n不是质数” d+1整除n? 开始 输入n flag=1，d=0 否 n>2? 是 d=d+1 否 是 flag=0 否 d≥n-2或flag=0? 否 （五）有时循环体中并无计数变量，且循环次数是不能确定的。以上的例1，例2，例3中都有计数变量，且循环体的循环次数都是确定的，而在例4中循环次数是不确定的，有0，1，2，…，n-2次多种可能。又例如
例5 用二分法设计一个求方程x2-2=0的正近似根的算法（精确到ε＝0.005）。 第一步：令f(x)= x2-2，因为f(1)<0，f(2)>0，则根在区间（1，2），设x1=1,x2=2，即根在区间（x1 ，x2）。
x1?x2第二步：令m=，计算
2f(m)的值，并判断f(m)是否为0。若是，则m为所求根；若否，则继续执行以下步骤。
第三步：若f(x1)?f(m)>0，知f(m) ?f(x2)<0，则根在区间（m, x2），令x1=m；否则根在区间（x1 ,m），令x2=m。
第四步：判断|x1—x2|<ε（即|x1
—x2|<0.005）是否成立？若是，则令m=
开始 f(x)=x2-2 输入误差ε和初始值x1，x2 x1?x2m=2，f(m)=m2-1 f(m)=0? 否 否 f(x1)·f(m)>0? 是 x2=m x1=m 是 x1?x2，m为满足条件的近似2根；若否，则返回第二步。
其框图如图9（是直到型循环结构），这里并无计数变量，而用来判断循环是否终止的只是标志变量a。
x1=m，x2=m a=|x1 -x2| ???lg?x?x?21其循环次数最多为??1?1?lg???2??（这里x1，x2是初始值），但实际上并不知道其实际的循环次数。
关注的问题三：循环结构与其它结构有何联系？
否 a<ε? 是 x1?x2m=2输出m 结束 图9直到型循环结构
算法循环结构流程图
