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第七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V中，A?????,其中??V是一固定的向量； 2） 在线性空间V中，A???其中??V是一固定的向量； 3） 在P
322(x,x,x)?(x,x?x,x1233)； 中，A1234） 在P3中，A(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)；
5） 在P[x]中，Af(x)?f(x?1) ； 6） 在P[x]中，Af(x)?f(x0),其中x0?P
是一固定的数；
7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A???。
8） 在Pn?n中，AX=BXC其中B,C?Pn?n是两个固定的矩阵. 解 1)当??0时,是;当??0时,不是。 2)当??0时,是;当??0时,不是。
3)不是.例如当??(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0), A(k?)?(4,0,0), A(k?)? kA(?)。
4)是.因取??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3),有 A(???)= A(x1?y1,x2?y2,x3?y3)
=(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1) =(2x1?x2,x2?x3,x1)?(2y1?y2,y2?y3,y1)
= A?+ A?， A(k?)? A(kx1,kx2,kx3) ?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1)?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1) = kA(?)，
故A是P3上的线性变换。
5) 是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x],并令
u(x)?f(x)?g(x)则
A(f(x)?g(x))= Au(x)=u(x?1)=f(x?1)?g(x?1)=Af(x)+ A(g(x))， v(x)?kf(x)(kf(x))? 再令则AA(v(x))?v(x?1)?kf(x?1)?kA(f(x))，
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故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x]则.
A(f(x)?g(x))=f(x0)?g(x0)?A(f(x))?A(g(x))， A(kf(x))?kf(x0)?kA(f(x))。 7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)?kA(a)。
8)是，因任取二矩阵X,Y?Pn?n，则A(X?Y)?B(X?Y)C?BXC?BYC?AX+AY，
A(kX)=B(kX)?k(BXC)?kAX，故A是Pn?n上的线性变换。 2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,AB?BA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立。
解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为
Aa=(x,-z,y), A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y), A4a=(x,y,z)， Ba=(z,y,-x), B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x), B4a=(x,y,z)， Ca=(-y,x,z), C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z), C4a=(x,y,z)， 所以A4=B4=C4=E。
2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB?BA。
3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A2B2=B2A2。
4)因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB)2?A2B2。
3.在P[x] 中，Af(x)?f'(x),Bf(x)?xf(x)，证明:AB-BA=E。 证 任取f(x)?P[x]，则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)?xf;(x)-xf'(x)=f(x)
所以 AB-BA=E。 4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kAk?1 【最新整理，下载后即可编辑】
(k>1)。
证 采用数学归纳法。当k=2时
A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。 归纳假设k?m时结论成立，即AmB-BAm=mAm?1。则当k?m?1时，
有
Am?1B-BAm?1=(Am?1B-AmBA)+(AmBA-BAm?1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm?1A=(m?1)Am。 即k?m?1时结论成立.故对一切k?1结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。
证 设A是可逆变换，它的逆变换为A?1。 若a?b，则必有Aa?Ab，不然设Aa=Ab，两边左乘A?1，有a=b，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A?1b=a即可。因此,A是一个双射。
6.设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A?1,A?2,?,A?n线性无关。 证 因A(?1,?2,?,?n)=(A?1,A?2,?,A?n)=(?1,?2,?,?n)A，
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关，故A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵； 2) [o; ?1,?2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对?2的垂直投影，求A,B,AB在基?1,?2下的矩阵；
3) 在空间P[x]n中，设变换A为f(x)?f(x?1)?f(x)， 试求A在基?i=x(x?1)?(x?i?1) (I=1,2,?,n-1)下的矩阵A； 4) 六个函数 ?1=eaxcosbx,?2=e?3=xeaxcosbx,?4=xeaxsinbx，
ax1i!sinbx，
11?1=x2eaxcosbx,?1=eaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域
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高等代数(北大版)第7章习题参考答案(精品范文).doc
