北师大版高中数学必修1第三章指数函数与对数函数
第一课时§3.1正整数指数函数 一、教学目标：1、知识与技能： (1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念． (2)能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．2、 过程与方法： (1)让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法． (2)从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．
二、教学重点: 正整数指数函数的定义．教学难点：正整数指数函数的解析式的确定． 三、学法指导：学生观察、思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）新课导入
[互动过程1]：（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别 为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;
（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n(n?N?)与得到的细 胞个数y之间的关系;
（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式,试用 科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．
解:（1）利用正整数指数幂的运算法则,可以算出1个细胞分裂1,2,3, 4,5,6,7,8次后,得到的细胞个数 分裂次数 细胞个数 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 （2）1个细胞分裂的次数n(n?N?)与得到的细胞个数y之间的关系可以用图像表示,它的图像是由一些孤立的点组成
n（3）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y?2,n?N?,用科学计算器算得
215?32768,220?1048576
所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576．
探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细胞个数y随着分裂次数n发生怎样变化?你从哪里看出?
1
小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数,而且指数是变量,取值为正整数． 细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y?2n,的增多而逐渐增多． [互动过程2]：问题2．电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00．9975 ,其中Q0是臭氧的初始量,t是时间(年),这里设Q0=1． （1）计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q； （2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；
（3）试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加还是减少．
解:（1）使用科学计算器可算得,经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q的值分别为0．9975=0．9512, 0．9975=0．9047, 0．9975=0．8605, 0．9975=0．8185, 0．9975=0．7786; （2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化如图所 示,它的图像是由一些孤立的点组成．
（3）通过计算和观察图形可以知道, 随着时间的增加, 臭氧含量Q在逐渐减少．
探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别 又是什么?此函数是什么类型的函数?,臭氧含量Q随着 时间的增加发生怎样变化?你从哪里看出?
小结：从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q都是底数为0．9975的指数,而且指数是变量,取值为正整数． 臭氧含量Q近似满足关系式Q=0．9975 ,随着时间的增加,臭氧含量Q在（t?N?）逐渐减少．
[互动过程3]：上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?
正整数指数函数的定义:一般地,函数y?a(a?0,a?1,x?N?)叫作正整数指数函数,其中x是自变量,定义域是正整数集N?．
说明: 1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．
xt
40
60
80
100
20
t
细胞个数y随着分裂次数nn?N?．
（x?N?）（二）、例题：某地现有森林面积为1000hm,每年增长5%,经过x年,森林面积为
yhm2．写出x,y间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．
2
2分析:要得到x,y间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出x,y间的函数关系式．
解: 根据题意,经过一年, 森林面积为1000(1+5%)hm;经过两年, 森林面积为1000(1+5%)hm;
2经过三年, 森林面积为1000(1+5%)hm;所以y与x之间的函数关系式为
3
52
,经过5年,森林的面积为1000（1+5%）=1276．28(hm)． （x?N?）y?1000(1?5%)x22
2练习:课本练习1,2
补充例题:高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?
解：一个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%),二个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%);,三个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%),…, n个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%); 所以n与y之间的关系为y=2000(1+2．38%) (n∈N+),一年后他全部取回,他能取回的钱数为y=2000(1+2．38%)．
补充练习:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?
（三）、小结：1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数． （四）、作业:课本习题3-1 1,2,3 五、教学反思：
§3.2指数概念的扩充 第二课时§3.2.1整数指数幂
3
12
n3
n2
一、教学目标：1、知识与技能：（1） 在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算．（2） 能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． 2、 过程与方法（1）让学生了解整数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习整数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心． 二、教学重点: 整数指数幂的运算性质。教学难点：整数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）新课导入 [互动过程1]请同学们回顾复习整数指数幂的定义,并填写下面结果： n a? a?a??an个 a a0? 1（a≠0） a?n? （a≠0,n∈N+） [互动过程2] 你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：m,n?N? （1）．aa? ；annmnm?n （2）．(a)? ；amnmn am （3）．(ab)? ；ab （4）．当a?0时,有n? ?a?am?n,当 m?n时 ?n?1,当m?n时ana()? （5）． n (b?0) ?1bb?n?m当m ?n时 ?an(二)、例题探析与巩固训练 5332m3n221)?2 例1．（1）求值10?8?3 （2）化简(25mnmn32232225?55?32?252?92255?2?解：（1）10?8?3?(2?5)?8?3? 8325252?5245m3n221m6n41)?2?22?2?m6?2?2n4?2?1?m2n （2）(mnmnmnmn 4
练习1：化简（1）(ab2)4(a2b)3 （2）x3y2?x3y2?x4y2 [互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？ 例2．计算：3?3和35?75?75?(?7),并判断两者之间的关系 11351115?(?7)?3?2?2?由此看出35?3?7=35?(?7) 解：3?3?7?7?5?2?3393339(m?n)?2(m?n)4练习2．（1）计算：(2) 和 2 （2）化简 ?3?1(m?n)(m?n)2?3?6看来正整数指数幂的运算性质可以推广到整数,即有aa?amnm?n（m,n?N） anananan?1nn?n()?(a?b)?a?b?n,这样就可以把（5）()?n就可以统一到性质（1）bbbbaa?amnm?namm?n（m,n?N）了,（4）中的三种情况也可以统一为n?a与（1）合并． a这样我们就可以把整数指数幂的运算性质归纳为：a?0,b?0,m,n?Z （1）．aa?amnm?nmn （2）．(a)?amnn （3）．(ab)?ab nnn[互动过程4] 探究：1．整数指数幂满足不等性质：若a?0,那么a 0 (n?Z)． n2．正整数指数幂还满足下面两个不等性质：（1）若a?1,则a 1； n（2）若0?a?1,则a的范围为 (n?N?)． n3．在a?0的情况下,（1）如果a?1?n?N??,那么a?1成立吗？ n（2）如果a?1?n?N??,那么a?1成立吗？ 练习3．（1）比较3与1的大小．（2）比较(m?n)与0的大小（其中m?n） ?1?1例3．计算：（1）[()]；（2）(7)；（3）()?() ?1?1(?1)?(?1)解：（1）[()]?1；（2）(7)?7?7；（3）()?()?2?3233013313?4233013313?411?()3?4?()?1?3 33例4．计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式(a,b均不为零）： 5
高中数学 第三章《指数函数与对数函数》全部教案 北师大版必修1
