2024届新高考数学一轮专题复习(新高考版)第11讲-函数与方程(解析版)

第11讲-函数与方程

一、 考情分析

1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系； 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．

二、 知识梳理

1.函数的零点 (1)函数零点的概念

如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数 [微点提醒]

1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.

(x1，0)，(x2，0) 2 (x1，0) 1 无交点 0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0

2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.

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三、 经典例题

考点一 函数零点所在区间的判定

【例1】 (1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为( ) A.(0，1)

B.(1，2)

x－2

C.(2，3) D.(3，4)

?1?

(2)设函数y＝x3与y＝?2?

??是________.

的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间

【解析】 (1)因为y＝ln x与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数， 所以f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上是增函数， 又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，

根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内. ?1?

(2)设f(x)＝x3－?2?

??象如图所示.

x－2

?1?

，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝?2?

??

x－2

的图

?1?－1

因为f(1)＝1－?2?＝－1<0，

???1?0

f(2)＝8－?2?＝7>0，

??所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).

规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：

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(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 考点二 确定函数零点的个数

?x2＋x－2，x≤0，【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝?的零点个数为( )

?－1＋ln x，x>0A.3

B.2

C.1

D.0

?x2＋2，x∈[0，1），

(2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝?且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－2

2－x，x∈[－1，0），?log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( ) A.3个

B.2个

C.1个

D.0个

???x≤0，?x>0，

【解析】 (1)法一 由f(x)＝0得?或?

2??x＋x－2＝0??－1＋ln x＝0，解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点.

法二 函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.

图1

(2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2. 在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图2).

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图2

由于两函数图象有2个交点.

所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点. 规律方法 函数零点个数的判断方法：

(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；

(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 考点三 函数零点的应用

?ex＋a，x≤0，【例3】 (1)已知函数f(x)＝?(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值

?3x－1，x>0范围是( ) A.(－∞，－1) C.(－1，0)

B.(－∞，1) D.[－1，0)

?ex，x≤0，

(2)已知函数f(x)＝?g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )

?ln x，x>0，A.[－1，0) C.[－1，＋∞)

B.[0，＋∞) D.[1，＋∞)

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【解析】 (1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝3. 因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.

(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.

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规律方法 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.

2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. [方法技巧]

1.转化思想在函数零点问题中的应用

方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.

2.判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断.

(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.

(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断. 3.若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点.特别是，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点.

4.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

四、 课时作业

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