2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3.1 直线与平面垂直的判定 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．
②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
（2）．斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．
2.3.2 平面与平面垂直的判定 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
2.3.3 直线与平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行．
2.3.4 平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 三类证法：
(1)证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法；
③线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b； ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b. (2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直?a⊥α； m、n?α，m∩n＝A??
??l⊥α； ②判定定理1：
?l⊥m，l⊥n?③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a⊥α?a⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. (3)证明面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. 基础习题
1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )．
A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内任意一条直线垂直 2．在空间中，下列命题正确的是( )．
A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 3用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( )．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
4．设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中
不正确的是( )．
c⊥α?b?β，a⊥b?
???b⊥c A.?c⊥β B.α∥β?c是a在β内的射影?
C.
b∥c
?
b?α??c∥α D.c?α?
a∥α?
??b⊥α b⊥a?
5．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD. 证明：AD⊥平面PAC.
7.如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD.
8.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
参考答案：
1.解析 由直线与平面垂直的定义，可知D正确．答案 D
2.解析 选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确．答案 D
3.解析 由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a、c的关系不确定，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，不能判定a、b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．答案 C
4.解析 由a∥α，b⊥α可得b与α的位置关系有：b∥α，b?α，b与α相交，所以D不正确．答案 D
5.解析 由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案 4 6.[审题视点] 只需证AD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可． 证明 ∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1. ∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC，
又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， ∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O， ∴AD⊥平面PAC.
总结：(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性质． (2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
7.[审题视点] 证明BD⊥平面PAD，根据已知平面PAD⊥平面ABCD，只要证明BD⊥AD即可．
证明 在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝45， 所以AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAD.
又BD?平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD. 总结：面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性
的证明方法主要条垂直于这个平质定理法，本题
就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．
8.[审题视点] (1)转化为证明AC⊥平面PDB；(2)AE与平面PDB所成的角即为AE与它在平面PDB上的射影所成的角． (1)证明 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D， ∴AC⊥平面PDB.又AC?平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB. (2)解 设AC∩BD＝O，连接OE. 由(1)知，AC⊥平面PDB于点O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．
数学必修二知识点+练习2.3---直线.平面垂直的判定及其性质学生
