高三数学考前中档题突破——应用题
类型一、函数类应用题：
1．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元. 求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
解析：设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元，
∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元），∴x天饲料的保管与其它费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
1300
从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝+3x+357≥417．
xx300
当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值．
x
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小． 类型二、图形类应用题
2．如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲.乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA?123,cosC?. 135B A
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分的速度应控制在什么范围内?
钟,乙步行
C
123解:(1)∵cosA?,cosC?
135?54∴A、C?∴sinA?,sinC? （0，）2135∴sinB?sin?????sin（A?C）（A?C）?sinAcosC?cosAsinC?根据
63 65ABACAC得AB??sinC?1040m
sinCsinBsinB12 13(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则d2?(130t)2?(100?50t)2?2?130t?(100?50t)?∴d?200(37t?70t?50)
221040即0?t?8 1303535∴t?时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.
3737∵0?t?
(3)由正弦定理
AC12605BCACsinA??500(m) 得BC??63sinB13sinAsinB65乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V m/min,则
500710??3 v50∴?3?5007101250625 ??3∴?v?v504314?1250625?范围内 ,??4314?∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在?
3．如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部Bπ
的俯角均为．设S的眼睛距地面的距离按3米．
6（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立π
的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动
3时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． 解 (1) 如图，作SC垂直OB于C，则∠CSB＝30°，∠ASB
又SA＝3，故在Rt△SAB中，可求得BA＝3，即摄影者的水平距离为3米．
由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中，可求得OC＝3． 因为BC＝SA＝3，故OB＝23，即立柱高为23米. (2)连结SM，SN，设ON＝a，OM＝b． 在△SON和△SOM中，
(23)2＋1－b2(23)2＋1－a2
＝－，得a2＋b2＝26．
2·23·12·23·1a2＋b2－221122111cos∠MSN＝＝≥22＝＞．
2ababa＋b132π
又∠MSN∈(0，π)， 则∠MSN＜．
3故摄影者可以将彩杆全部摄入画面． 类型三、不等式应用题
4．如图，已知矩形油画的长为a，宽为b．在该矩形油画镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的壁画的总面积为S．
（1）用x，y，a，b表示S；
（2）若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y
MO柱所在
NS的任意
＝60°．
BA到立柱
的四边幅矩形宽为y，
的总面的值．
解：（1）壁画由9个小矩形构成，其面积为9个矩形的面积和，∴壁画的总面积为S＝2bx＋2ay＋4xy＋ab，x,y＞0． （2）依题意，即求4xy的最大值． 因为x,y＞0，所以2bx＋2ay≥22bx·2ay，从而S≥4abxy＋4xy＋ab，当且仅当bx＝ay时等号成立 令t＝xy，则t＞0，上述不等式可以为4t2＋4abt＋ab－S≤0，解得因为t＞0，所以t≤S－abab＋S－2abS，从而xy≤． 24abS－ab，2b（舍去负值） abS－ab，2a－S－abS－ab≤t≤22?x＝?bx＝ay，由?解得??S＝2bx＋2ay＋4xy＋ab，?y＝所以当x＝abS－ababS－ab，y＝时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab＋S－2abS． 2b2a类型四、数列应用题
5.为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造
10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. 购地费用+所有建筑费用
(每平方米平均综合费用＝)．
所有建筑面积（1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？
【答案】【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用
为［(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10，所以，…………………………3分
16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10
1 270＝，
10×1 000×5解之得：k＝50．………………………………………………………6分
（2）设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f (n)，由题设可知 16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)］×1 000×10
f (n) ＝ 10×1 000×n＝
1 600
+25n+825≥21 600×25+825＝1 225 (元). …………………10分 n
1 600
当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．………………12分
n
答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．…………14分
6.关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营.据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元.
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营.据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上.
（1）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（2）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益＝收入－投资） ［解析］（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的 累计总收益为正数.
320(1－1.54)
在方案乙中，前4年的总收入为 =2600＜6000, 故n必定不小于5，
1－1.5则由 2600+320·1.54(n－4)＞6000， 8
解得n＞6,故n的最小值为7.
81
答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资.
（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1, y2万元，则 1
y1＝760n－50n＋n(n－1)·20＝－10n2+720n,
2 当n≤4时，则y1＞0, y2＜0,可得y1＞y2.
当n≥5时，y2＝2600＋320·1.54(n－4)－6000＝1620n－9880， 令y1＜y2, 可得1620n－9880＞－10n2+720n,
即n(n+90)＞998,由10(10+90)＞998, 9(9+90)＜998, 可得n的最小值为10.
答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲. 类型五、解析几何应用题
7．在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.
解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t + 3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M y 则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020
两式相减：|MA| ? |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)
M ∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线
以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系（如图）
A O B x ∴ A(?700, 0 ), B( 700, 0 ) ? c = 700
且 2a = 1020 ? a = 510 ? b2 =229900
x2y2??1 ( x > 0 ) 炮弹爆炸的轨迹方程是：
2601002299008．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区. P往灾区有两条道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程. 解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：
A
M
B
（1）沿PA线路 （2）沿PB线路 （3）沿PA、PB线路都相同 故分界线以第（3）种情况划分：即
|PA| + |MA| = |PB| + |MB| ? 110 + |MA| = 150 + |MB| ∴ |MA|?|MB| = 40, 即知分界线是以A、B为焦点的双曲线 AB = 50 ? 2c = 50 ? c = 25, 2a = 40 ? a = 20 ? b2 = 225 若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系
y2x2则分界线方程是：??1 （在矩形内的一段）
400225注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离.
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