第四章 指数函数与对数函数
4.4.1对数函数的概念
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.1节《对数函数的概念》。对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。学习中让学生体会在类比推理，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。
课程目标 1、理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域； 2、了解对数函数与指数函数之间的联系，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。 3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，感受数学、理解数学、探索数学，提高学习数学的兴趣。
教学重点：对数函数的概念、求对数函数的定义域 教学难点：对数函数与指数函数的关系。
学科素养 a.数学抽象：对数函数的概念； b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系； c.数学运算：求对数函数的定义域； d.直观想象：对数函数的图像； e.数学建模：运用对数函数解决实际问题；
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教学过程 设计意图 核心教学素养目标 温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾，提出新的问题，构建对数函数的概念。培养和发展逻辑推理和数学5730 （一）、问题探究 问题1 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么，死亡１年后，生物体内碳１４含量为（1-12 p)；死亡２年后，生物体内碳１４含量为（1-p)； 3 死亡３年后，生物体内碳１４含量为（1-p)； …… 死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为（1-p)5730． 1215730抽象的核心素养。 ． x 根据已知条件， （1-p)＝,从而1-p=()221115730,所以p=1-() 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)， 即??=((2)115730115730), （x∈[０，＋∞））． ?? 通过对指数函数回顾，类比得出对数函数的概念质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养； 这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以1-(2)减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 在上述问题中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究． 在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间 x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ 2、概念建构 根据指数与对数的关系，由??=((2)√2115730)（x≥０）得到??=????????57301??(0
的图象有且只有一个交点（??0，??0）． 这就说明，对于任意一个y∈（０，１］， 通过对应关系??=??????57301?? ， √2 通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数函数的概念性。培养逻辑推理核心素养。 求解对数函数的定义域，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养； 在［０，＋∞）上，都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数． 也就是说，函数??=??????57301??(00，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． （二）、典例解析 题型1 对数函数的概念及应用 例1 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1； ②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x； 31④y＝log3x；⑤y＝logx3(x>0，且x≠1)； 3⑥y＝log2x.其中是对数函数的为( ) πA．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________. 1? (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ??2?＝________. (1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数， 2a－1>0，??所以?2a－1≠1，??a2－5a＋4＝0， 解得a＝4. (3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)， 由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x， 1?1∴f ?＝log2＝－1.] ?2?2[规律方法] 判断一个函数是对数函数的方法 3
通过对应用问题的解决，发展学生数学建模的素养； 跟踪训练1．若函数答案：2 [由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.] 题型2 对数函数的定义域 例2 求下列函数的定义域． 11(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)； 12－xlogx＋12(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8). [解] (1)要使函数f(x)有意义，则log1x＋1>0，即log1x>－1， 22解得0
所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． 16－4x>0，??(2)要使函数有意义，需满足?x＋1>0，??x＋1≠1， 解得－1
第四章 指数函数与对数函数 4.4.1对数函数的概念
