《高等数学》作业参考答案
第一章 函数作业（练习一）
一、填空题:
1.函数f(x)?1?5?x的定义域是________。
ln(x?2)解：对函数的第一项，要求x?2?0且ln(x?2)?0，即x?2且x?3；对函数的第二项，要求
5?x?0，即x?5。取公共部分，得函数定义域为(2,3)?(3,5]。
2.函数y?x2?9的定义域为________。
x?3解：要使y??x?3x2?92有意义，必须满足x?9?0且x?3?0，即?成立，解不等式方程
x?3?x?3?x?3或x??3，故得出函数的定义域为(??,?3]?(3,??)。
x?3?2组，得出?x3.已知f(e?1)?x?1，则f(x)的定义域为________。 解：令e?1?u, 则x?ln?1?u?,
x?f(u)?ln2?1?u??1, 即?f(x)?ln2?1?x??1, 故f(x)的定义域为??1,???
4.函数y?x2?4?21的定义域是________。 解：(??,?2]?[2,??) x?125.若函数f(x?1)?x?2x?5，则f(x)?________。 解：x?6
二、单项选择题：
1.若函数y?f(x)的定义域是[0，1]，则f(lnx)的定义域是 ［ C ］ A.(0,??) B.[1,??) C.[1,e] D.[0,1]
2.函数y?lnsin?x的值域是 ［ D ］ A.[?1,1] B.[0,1] C.(??,0) D.(??,0]
3.设函数f(x)的定义域是全体实数，则函数f(x)?f(?x)是 ［ C ］ A.单调减函数 B.有界函数 C.偶函数 D.周期函数 解：A、B、D三个选项都不一定满足。
1
设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有
F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?f(x)?f(?x)?F(x)
即F(x)是偶函数，故选项C正确。
ax?1(a?0,a?1) ［ B ］4.函数f(x)?xx a?1A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。
a?x?1a?x(1?ax)ax?1f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x) 所以B正确。 xa?1a(1?a)a?15.若函数f(x?211 )?x2?2，则f(x)? ［ B ］
xx22A.x B.x?2 C.(x?1) D.x?1。 解：因为x?2211121122 所以?x?2??2?(x?)?2f(x?)?(x?)?2
xxxx2x22则f(x)?x?2，故选项B正确。
6.设f(x)?x?1 ，则f(f(x)?1)= ［ D ］ A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3 解：由于f(x)?x?1， 得f(f(x)?1)?(f(x)?1)?1＝f(x)?2
将f(x)?x?1代入 得f(f(x)?1)=(x?1)?2?x?3
7.下列函数中，( )不是基本初等函数。 ［ B ］
1sinxy?()xy?253y?lnxy?xecosxA． B． C． D．
2解：因为y?lnx是由y?lnu，u?x复合组成的，所以它不是基本初等函数。
28.设函数f(x)???cosx,x?0?，则f(?)= ［ C ］
4x?0?0,A．f(??)=f() B．f(0)?f(2?)
44?C．f(0)?f(?2?) D．f()=
?42 2 2
解：因为?2??0，故f(?2?)?cos(?2?)?1 且f(0)?1， 所以f(0)?f(?2?) 9.若函数f(e)?x?1，则f(x)= ［ C ］ A. e?1 B. x?1 C. lnx?1 D. ln(x?1)
10.下列函数中y?( )是偶函数. ［ B ］
A. f(x) B. f(x) C. f(x) D. f(x)?f(?x)
三、解答题：
2xx0?x?1?x1．设f(x)??，求：(1)f(x)的定义域；(2)f(0)，f(1)，f(2)。
lnx1?x?e?解：(1)分段函数的定义域是各区间段之和，故f(x)的定义域为[0,1]?(1,e)?[0,e)
(2)?0?x?1时，f(x)?x ?f(0)?0，f(1)?1
?1?x?e时，f(x)?lnx ?f(2)?ln2
x?0??x?1,x?0?x,2. 设f(x)?? ,g(x)?? 求复合函数f(g(x)),g(f(x))。 2?x,x?0xx?0????x?1,?1?x?0??x?1,x?0?2解:f?g?x????2 g?f?x??????1?x?,x??1
?x?1,x?0??x2,x?0?3．（1）f(x)?a?ax?x (a?0)；
x?x解:?f??x??a?a（2）f(x)?ln?f?x? ?f?x??ax?a?x为偶函数
1?x 1?x1?x1?x1?x为奇函数 ??ln??f?x? ?f?x??ln1?x1?x1?x解:?f??x??ln（3）f(x)?ln(x?1?x2)
解:?f??x??ln?x?1?x?2??ln21x?1?x2??lnx?1?x2??f?x?,
???f?x??lnx?1?x2为奇函数
4．已知f(x)?sinx，f???x???1?x，求?(x)的定义域
3
???f???x???sin??x??1?x,???x??arcsin1?x解：
2?2?, 故??x?的定义域为?2?x?2
第二章 极限与连续作业（练习二）
一、填空题：
1.limx?sinx?________ 答案：1
x??x正确解法：limx?sinxsinxsinx?lim(1?)?lim1?lim?1?0?1
x??x??x??x??xxxx2?ax?b?2，则a?_____，b?_____。 2.已知lim2x?2x?x?2由所给极限存在知4?2a?b?0 得b??2a?4
x2?ax?bx?a?2a?4?lim??2 知a=2 b=-8 又由lim2x?2x?x?2x?2x?13ex?b??，则a?_____， b?_____。 3.已知limx?0(x?a)(x?1)ex?b(x?a)(x?1)a?lim??， 即lim??0， ∴a=0 b≠1 xx?0(x?a)(x?1)x?01?be?b1??xsin4.函数f(x)??x??x?1x?0x?0的间断点是x?_____。
解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。
因为lim?xsinx?01?0lim?(x?1)?1f(0)?1 所以函数f(x)在x?0处是间断的，
x?0x又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。 5.极限limxsinx?01?_____。 x1是有界变量。 x解：因为当x?0时，x是无穷小量，sin故当x?0时，xsin11仍然是无穷小量。所以 limxsin?0
x?0xx 4
?x?16.当k_____时，f(x)??2?x?kx?0x?0?在x?0处仅仅是左连续。
解：因为函数是左连续的，即f(0)?lim?(x?1)?1?f(0)
x?0若f(0)?lim?(x?k)?k?1，即当k?1时，f(x)在x?0不仅是左连续，而且是连续的。
x?0?2所以，只有当k?1时，f(x)在x?0仅仅是左连续的。 7.要使f(x)?1?cosx在x?0处连续，应该补充定义f(o)?_____。 x解：lim1?cosxsinx?lim?0，补充定义f(0)?0
x?0x?0x1
二、单项选择题：
x2?ax?b)?0，其中a,b是常数，则（ ）1.已知lim(。
x??x?1A. a?1,b?1 B. a??1,b?1 C. a?1,b??1 D. a??1,b??1
?x21?a?x2??a?b?x?b?ax?b)?lim?0 解：?lim(x??x?1x??x?1?1?a?0,a?b?0,?a?1,b??1 答案：C
2.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e,1x(x??) B.
sinx,(x??)x
x?1?1,(x?0)x
C. ln(1?x),(x?1) D.
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以limsinx?0，而A, C, D三个选项中的极限都
x??x不为0，故选项B正确。
3.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）。
1??1?nA.y?xsin(x??) B.y?n(n??)
xC.y?lnx(x??0) D.y?11cos(x?0) xx 5
中南大学高等数学作业参考答案
