一．命题陷阱： 1.图形考虑不周陷阱；
2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）； 3. 已知条件中含有导函数值而无从下手； 4.恒成立中的最值陷阱
5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱 6.与三角函数有关的构造函数 7.忽视分母造成解集不完备 8.与指数函数对数函数有关的构造 二．典例分析及练习 （一）图形考虑不周陷阱 例1.已知则实数A. 【答案】C
的取值范围为（）
B.
C.
D.
，若关于的方程
恰好有 4 个不相等的实数解，
【解析】
x,x?0x?ex化简可得f(x)?x=? , xe??x,x?0e
当x?0时，f'(x)?1?x， xe当0≤x＜1时，f'(x)?0，当x?1时，f'(x)?0 ∴f(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减； 当x＜0时，f'(x)?x?1＜0，f（x）为减函数， xe∴函数f(x)?x1在（0，+∞）上有一个最大值为，作出函数f(x)的草图如图： f(1)?xee
则方程f(x)?tf(x)?t?1?0等价为m2?tm?t?1?0，
要使关于x的方程f(x)?tf(x)?t?1?0恰好有4个不相等的实数根， 等价为方程m2?tm?t?1?0有两个不同的根m1＞设g(m)?m?tm?t?1?0，
222且0＜m2＜，
g?0??t?1?0t?1??e?1??1?1t?则?g???2??t?1?0 ??t? e??e?ee???t?0?t??02解得1＜t＜1+故答案选：C.
陷阱预防：这类问题根据已知条件画出函数的图象，利用图象求解时注意切线等特殊位置
，
练习1. 已知函数是（ ） A. 【答案】D
【解析】画出函数f（x）
B.
C.
，若不等式恒成立，则实数的取值范围
D.
的图象，
练习2. 已知函数是（ ） A. 【答案】D 【解析】由∴当∴当
时，时，
有最大值，且得
。 单调递增；当
时，，
单调递减。
B.
C.
D.
，关于的不等式
只有1个整数解，则实数的取值范围
且x???时，f?x??0；x?0时，x???,f(1)?0；
故在(0,1)上，，在(1,+∞)上，，
作出函数f(x)的图象如下：
①当
时，由
得
，解集为(0,1)∪(1,+∞)，
所以不等式的整数解有无数多个，不合题意； ②当当当故
时，由
得
或
。
时，解集为(1,+∞)，有无数个整数解；
时，解集为(0,1)的子集，不含有整数解。
不合题意。
综上，选D。
【方法规律】函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用
（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；
（3）研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． （二）思维定式陷阱（与等式有关的函数构造） 例2. 若函数
满足xf'?x??f?x??x3ex,f?1??0，则当
时，（ ）
A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 【答案】C
【解析】由题设知，当
时，
，
可得为常数），又，得C=0
所以.
故选B.
陷阱预防：这类问题在构造函数是，注意逆向思维，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利用已知条件求解. 练习1. 函数为（ ）
的导函数为
，满足
，且
，则
的极值情况
2019高考数学专题——与导数有关的构造函数
