二项式定理
知识点
1．二项式定理：
0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?L?Cnab?L?Cnb(n?N?)，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r?0,1,2,???,n). ③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式 ④通项：展开式中的第r?1项Cna3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)与(b?a)是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等
于n. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与
。 b的系数（包括二项式系数）
4．常用的结论：
n0122rrnn?令a?1,b?x, (1?x)?Cn?Cnx?Cnx?L?Cnx?L?Cnx(n?N) n0122rrnnn?令a?1,b??x, (1?x)?Cn?Cnx?Cnx?L?Cnx?L?(?1)Cnx(n?N)
nrrn?rrn?rrab表示。 br叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cnnn012rn5．性质：
0nkk?1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn?Cn，···Cn?Cn 012rnn②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn?Cn?Cn?L?Cn?L?Cn?2， 12rnn 变形式Cn?Cn?L?Cn?L?Cn?2?1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
0123nnn在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn?L?(?1)Cn?(1?1)?0，
0242r132r?1从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?L?Cn?????1n?2?2n?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
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0n01n?12n?22n0n(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?L?Cnax?a0?a1x1?a2x2?L?anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax?L?Cnax?anxn?L?a2x2?a1x1?a0令x?1, 则a0?a1?a2?a3L?an?(a?1)n?????????①令x??1,则a0?a1?a2?a3?L?an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n①?②得,a0?a2?a4L?an?(奇数项的系数和)2(a?1)n?(a?1)n①?②得,a1?a3?a5L?an?(偶数项的系数和)2⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C大值。
⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
nn?12n
n2n,Cn?12n同时取得最
?Ar?1?Ar为A1,A2,???,An?1，设第r?1项系数最大，应有?，从而解出r来。
A?A?r?1r?2题型一 二项式定理的逆用；
1232nn?1【例1】Cn?Cn?6?Cn?6?L?Cn?6? .
【过关练习】
123nCn?3Cn?9Cn?L?3n?1Cn? .
题型二 利用通项公式求xn的系数；
【例1】在二项式(4
【过关练习】 求(x2?
132n?x)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ x19)展开式中x9的系数？ 2x
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题型三 利用通项公式求常数项；
【例1】求二项式(x2?
【过关练习】 求二项式(2x?
12x)10的展开式中的常数项？
16)的展开式中的常数项？ 2x题型四 利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
9【例1】求二项式(x?3x)展开式中的有理项？
题型五 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
【例1】若(x2?
【过关练习】 若(3
13x2)n展开式中偶数项系数和为?256，求n.
151n?)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 2xx题型六 最大系数，最大项；
【例1】已知(?2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
【过关练习】
在(a?b)的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
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题型七 含有三项变两项；
25【例1】求当(x?3x?2)的展开式中x的一次项的系数？
【过关练习】 求式子(x?
1?2)3的常数项？ x题型八 两个二项式相乘；
【例1】求(1?2x)(1?x)展开式中x的系数.
【过关练习】
342求(1?3x)6(1?
110)展开式中的常数项. 4x题型九 赋值法；
【例1】设二项式(33x?)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若
1xp?s?272,则n等于多少？
【过关练习】
?1?3x??1.若???的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
x??
n
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题型十 奇数项的系数和与偶数项的系数和；
2006【例1】在(x?2)的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x?2时,S?_____.
题型十一 整除性；
【例1】证明：32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除
课后练习
【补救练习】
5543211.若(x?2)?a5x?a4x?a3x?a2x?a1x?a0,则a1?a2?a3?a4?a5?____.
2.若(x2?)n的二项展开式中第5项为常数项，则n?____. 3.写出在(a?b)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
4.若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)n的展开式中系数最大的项？ 5.在(1?2x)的展开式中系数最大的项是多少？ 6.已知(1?x?x)(x?7.在(21071x121n*)的展开式中没有常数项,n?N且2?n?8,则n?______. 3xx1?3)n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 2x20098.若(1?2x)?a0?a1x1?a2x2?a3x3?L?a2009x2009(x?R),则aa1a2?2?????2009的值为 2009222【巩固练习】
1?1.二项式??2x?4? (n?N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是
x??（ ）
A．1
11nB．2 C．3 D．4
2.写出(x?y)的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）项的系数绝对值最大的项；
（3）项的系数最大的项和系数最小的项； （4）二项式系数的和； （5）各项系数的和
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计数原理--二项式定理
