欧阳历创编 2021..02.09
射影定理 时间：2021.02.09 创作人：欧阳历 所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)2=AD·DC， （2）(AB)2=AD·AC ， （3）(BC)2=CD·CA。
直角三角形射影定理的证明
一、（主要是从三角形的相似比推算来的）
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°， ∴∠ABD=∠C， 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD
即BD2=AD·DC。其余同理可得可证
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有射影定理如下： AB2=AD·AC，BC2=CD·CA 两式相加得：
AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。 二、用勾股证射影
∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,
∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD. 故AD2=BD×CD.
运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
三、用三角函数证明
由等积法可知：AB×BC=BD×AC
在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB 故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD 得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA 在Rt△ABD和Rt△BCD中
tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD 又∵tan∠BAD=cot∠BCD
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故BD/AD=CD/BD 得BD^2=AD×CD 时间：2021.02.09 创作人：欧阳历 欧阳历创编 2021..02.09
射影定理之欧阳历创编
