抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式了的一类函数。由于 抽象函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为函数内容的难点z—。木文就抽象函数常见题型 及解法评析如下：
一、定义域问题
例1?已知函数/(X2)的定义域是［1, 2］,求f(X)的定义域。
解：/(x2)的定义域是［1, 2］,是指15x52,所以/(x2)中的/满足15^54
从而函数f (x)的定义域是［1,4］
评析：一般地，已知函数.f(0(劝 的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于已知/(^(x))
中x的取值范I韦I为A,据此求0(兀)的值域问题。
例2?己知函数/(兀)的定义域是［-1, 2］,求函数/［log 1 (3 -%)］的定义域。
解：才(朗的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f作用的对象都在［-1, 2|屮，由此可得
一 1 Slog】(3— 兀)W 2 => (-) <3-x< (-)■' =>l 2 3 2 2 4 所以函数/［log. (3-X)］的定义域是［1,-］ T 4 评析：这类问题的一般形式是：己知函数f (x)的定义域是A,求函数的定义域。 正确理解函 数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知0(兀)的 值域B,且Be A,据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。 二、求值问丿 例3?已知定义域为/?+的函数f (x),同时满足下列条件：①/(2) = 1, /(6)=-；② f(x-y) = / W + /(y),求 f (3) , f(9)的值。 解：取% = 2, y = 3,得/(6) = /(2) + /(3) 1 因为/(2) = 1, /(6)=-,所以 /(3)=-- 又取x = y = 3 4 Q 得/(9) = /(3) + /(3)=-- 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2, y = 3,这样便把己知条件 /(2) = 1, /(6)=-与欲求的f (3)沟通了起來。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例4.设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数x、y, /(x + y) = fMf(y)总成立， 且存在歼工勺，使得/(歼)工/(兀2)，求函数/(兀)的值域。 解:令x=y=0,得/(0) = [/(0)]2,即有/(0) = 0或/(0) = 1 o 若/(0) = 0,则/(x) = /(x + O) = /(x)/(O) = O,对任意xw R均成立，这与存在实数 旺工兀2，使得/(Xl)/(X2)成立矛盾,故/(0)工0,必有/(0) = I O 由于/(x + y) = /(x)/(y)对任意兀、yeR均成立,因此,对任意xeR,有 /W = /(| + |) = /(|)/(|) = [/(|)]2 > 0 下血来证明，对任意XG /?, /(X)0 设存在XOG /?,使得/(xo) = O,则 /(0) = y(x0 - x0) = /(x0)/(-x0) = 0 这与上面已证的/(0)^0矛盾,因此,对任意xeR, /(x)^0 所以/(X)> 0 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变最进行适当的赋值，这是一般向特殊转 化的必要手段。 四、解析式问题 的解析式。 X Hl的所有实数X,函数畑满足 X — 1 解：在/(x) + /(-—) = 1 +兀 求 f(x) x — 1 ⑴中以一代换其中X,得: 1 /(—) + /(——)=-— X X- 1 X-1 X — 1 9 — 1 Y X (2) 再在(1)屮以-一代换X,得 I r-2 /(——) + /?) = —^ x- 1 x- 1 ⑴一⑵+⑶化简得：f(x)= 0) - ?-r 2x(x -1) 评析：如果把X和一分别看作两个变量，怎样实现由两个变最向一个变量的转化是解题关 X X — 1 键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系屮“消失”，进而保留一个变量，是实现这 种转化的重要策略。 五、单调性问 例6?设f (x)定义于实数集上，当兀〉0时，/(x) > 1 ,且对于任意实数X. y,有 f(x + y) = f(x) ? /(y),求证：f(x)在R上为增函数。
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