专题18 多元问题的处理
一、题型选讲 题型一、消元法
多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：多元最值首选消元：三元问题→二元问题→一元问题 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________． 【答案】 8
444444
a＋?＋?b＋?≥2由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝＋，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＋＝?abab?a??b?＋2
4b·＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b＋c的最小值为8. b
4a·a
解后反思 1. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是：参数是否为正；二定是：和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是：最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点：一是相等时参数是否在定义域内；二是多次用“≥”或“≤”时等号能否同时成立)．
例2、(2019苏州三市、苏北四市二调） 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|3 c2＋5 【解析】思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a，b，c的关系，再将所求运用a＋b消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值． b －＝7，?a?b＝－7a，2 依题意得a<0，且3和4是方程ax＋bx＋c＝0的两根，即则? c?c＝12a，?＝12，a ??? 5?c2＋5144a2＋5144a2＋5?所以＝＝＝(－24a)＋－6a≥2??a＋ba－7a－6a即a＝－ 5时取等号，所以所求最小值为45. 12 5??（－24a）·－6a＝45，当且仅当144a2＝5，?? 题型二、奇次化 研究双变元分式函数的最值问题通常可以通过变形，将两个变元合并为一个变元，转化为单变元的函数 11 / 11 x的二次式x的一次式 来研究·本质上是求二次分式在特定区间上的最值(值域)问题．一般地，先化二次分式＝x的二次式x的二次式＋常数．以下分两类情况：①分母不能因式分解时，求导数或用基本不等式解决，②分母能因式分解时，常数常数 继续化简为＋＋常数．再求导数 x的一次式x的一次式 4xy 例3、(2017南京三模）已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ． 4x＋yx＋y【答案】 4 3思路分析：所研究的代数式涉及到两个变量x,y，为此将分式的分子、分母同除以y，将x,y合并为来达到“消元”的目的，这样就转化为只含一个变量的函数的最值问题。 xy4xx4xy14t111y【解析】令t??0，则 ??????1??y4x?yx?y4x?1x?14t?1t?14t?1t?1yy?1?113t334，当且仅当，即，也即y?2x时等号成4t?t??1??1??1t24t2?5t?1324?54t??5t立。 3a－b 例4、(2019通州、海门、启东期末） 已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则2的最小值为________． a＋2ab－3b2【答案】 3＋5 4 【解析】注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件a＋b＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理． 3a－b（a＋b）（3a－b）32（－ab＋2b2）3 解析(化齐次式法)：因为a＋b＝2，所以2＝＝＋2＝＋ 2a＋2ab－3b22（a2＋2ab－3b2）2a＋2ab－3b2a 2（2－） b2－baa ，令u＝2－，因为a＋b＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，故0 2 5u＋－6u 3a－b53 当u∈(0，1)时，u＋－6>0，此时2>； ua＋2ab－3b22 11 / 11 53a－b3＋5532 当u<0时，u＋－6＝－?－u＋－u?－6≤－6－25，此时2≥＋＝，当且仅 u4??a＋2ab－3b22－6－25当u＝－5时等号成立． 3a－b3＋5 因此2的最小值为. 4a＋2ab－3b2 题型三 换元法与主元法 换元法是解决不等式中最常用到的一种方法，若不等式中出现多元的问题可以运用整体的思想看成一个 主元，然后再运用换元法解决。 ??代入消元?整体思想?常见的减元策略??整体换元 ??局部思想—设立主元3a＋8b232 例5、(2017南京三模）已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则abcc的取值范围为 ． 【答案】[27，30] 【解析】本题所给条件为关于a,b,c的三元不等式，所以首先利用整体思想将其转化为再根据条件和结论的特征，利用线性规划的思想解决取值范围. ab,的二元问题，cc?x?2y?8?a2b?x?2y?8??8??23ab?cc??由题意可得：，设?x,?y，则???2，所求可转化为：t?3x?8y.又?23?cc?2c?3c?2?xy?x?y?2????ab?x,y?0?x?2y?8?3x3x33?可化为?y?相切时有最小??，可行域如下图所示，当直线t?3x?8y与曲线y?2x?22x?22x?22???x?1,y?0值，当直线t?3x?8y经过点A时有最大值. 11 / 11
2020届新高考数学二轮微专题突破专题18 多元问题的处理(解析版)
