专题22 利用数列单调性求解相关问题
数列的单调性问题是高考中的难点也是热点．本专题通过研究数列的单调性来解决数列最值、恒成立等问题．在解决问题过程中，让学生体会到数列是个特殊的函数，与函数有共同之处又与函数有区别，感悟数学知识之间的内在联系与区别.
数列{an}的通项公式an＝n2＋λn(n∈N*)，若数列{an}为递增
数列，求实数λ的取值范围．
本题已知数列{an}为递增数列，那么就从递增数列的定义出
发，将问题转化为恒成立问题，即“对任意n∈N*，恒有an＋1>an，求实数的取值范围”，最后用分参法求解.
已知数列{an}，an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，且a3为数
列{an}的最小项，求实数λ的取值范围．
?1?n－1
已知数列{bn}满足bn＝2λ?－2?－n2，若数列{bn}是单调递
??
减数列，求实数λ的取值范围．
111
已知Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，设f(n)＝S2n＋1－Sn＋1，试
确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式mf(n)>恒成立．
m＋2
在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1. (1)求证：数列{an＋n}为等比数列；
(2)记bn＝an＋(1－λ)n，且数列{bn}的前n项和为Tn，若T3为数列{Tn}中的最小项，求λ的取值范围．
(2020·宿迁模拟)已知数列{an}各项均为正数，Sn是数列{an}
的前n项的和，对任意的n∈N*，都有2Sn＝3a2n＋an－2.数列{bn}各项都是正整数，b1＝1，b2＝4，且数列ab1，ab2，ab3，…，abn是等比数列．
(1)证明：数列{an}是等差数列； (2)求数列{bn}的通项公式bn； Sn1(3)求满足<的最小正整数n.
bn＋24
(本小题满分16分)(2020·扬州模拟)记无穷数列{an}的前n
Mn＋mn
项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn＝2，数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn.
(1)若数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，求Bn； (2)若数列{bn}是等差数列，试问数列{an}是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；
(3)若bn＝2n－100n，求An.
(1)Bn＝2n－1＋n; (2)是；(3)An＝
n＋22??2－100n－2n－4，n≤7，*?＋)n∈N. n22??2－100n＋946n－6640，n≥8，
(1)∵数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝
n
2＋2
2n，∴mn＝2，Mn＝an＝2n.则bn＝2＝1＋2n－1，
1－2n
∴Bn＝n＋×1＝2n－1＋n. ……………………………2分(求出Bn)
1－2Mn＋mn
b(2)若数列{n}是等差数列，设其公差为d′，∵bn－bn－1＝2－Mn－1＋mn－1Mn－Mn－1mn－mn－1＝＋＝d′ 222
根据Mn，mn的定义，有以下结论：Mn≥Mn－1，mn≤mn－1，且两个不等式中至少有一个取等号，
①若d′>0，则必有Mn>Mn－1，∴an＝Mn>Mn－1≥an－1，即对n≥2，n∈N*，都有an>an－1，
Mn＋mnMn－1＋mn－1an＋a1
∴Mn＝an，mn＝a1，bn－bn－1＝2－＝2－2an－1＋a1an－an－1
2＝2＝d′，
……………………4分(求证出d′>0∴an－an－1＝2d′，即{an}为等差数列；时，{an}是等差数列)
②当d′<0时，则必有mn Mn＋mnMn－1＋mn－1an＋a1 ∴Mn＝a1，mn＝an，bn－bn－1＝2－＝2－2an－1＋a1an－an－1 2＝2＝d′， 所以an－an－1＝2d′，即{an}为等差数列；……………6分(求证d′<0时，数列{an}是等差数列) Mn＋mnMn－1＋mn－1Mn－Mn－1 ③当d′＝0，bn－bn－1＝2－＝＋22 mn－mn－1 ＝0, 2 ∵Mn－Mn－1，mn－mn－1中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即Mn＝Mn－1，mn＝mn－1，∴{an}为常数数列，所以{an}为等差数列， ………………………8分(求证d′＝0时，综上，数列{an}一定是等差数列. 数列{an}是等差数列) ＋ (3)∵bn＋1－bn＝[2n1－100(n＋1)]－(2n－100n)＝2n－100， ∴当n<7时，bn＋1－bn<0，即b1>b2>…>b6>b7，当n≥7时，bn＋1－bn>0，即b7 以下证明：a1>a2>…>a6>a7，a7 当n<7时，若mn≤an＋1≤Mn，则Mn＋1＝Mn，mn＋1＝mn，所以bn ＋1 ＝bn，不合题意； Mn＋mnMn＋1＋mn＋1 若an＋1>Mn，则Mn＋1＝an＋1，mn＋1＝mn，则2<，2得：bn 与bn>bn＋1矛盾，不合题意；∴an＋1 nn1时，an a1＋an ①当n≤7时，Mn＝a1，mn＝an∴bn＝2∴an＝2bn－a1，a1＝b1＝－98 ∵bn＝2n－100n∴an＝2n＋1－200n＋98 4(1－2n)n(n＋1)∴An＝－200×2＋98n＝2n＋2－100n2－2n－4 1－2 …………………………………………………………………………………12分(求出n≤7时，An的表达式) ②当n>7时，a1>a2>…>a6>a7，且a7 ∴mn＝a7＝28－200×7＋98＝－1 046，则Mn为a1或an.若Mn为a1－1 046a1，则bn＝为常数，与题意不符， 2 an＋a7 ∴Mn＝an∴bn＝2∴an＝2bn－a7＝2n＋1－200n＋1 046 9n－72(1－2)9 ∴An＝A7＋a8＋a9＋…＋an＝2－4 900－14－4＋－ 1－2 (n＋8)(n－7)n＋22 200×＋1 046(n－7)＝2－100n＋946n－6 2640……………………………14分(求n>7时，An的表达式) n＋22??2－100n－2n－4，n≤7，*∴An＝?n＋2n∈N. 2 ??2－100n＋946n－6 640，n≥8， …………………………………………………………………………………………………16分(求出A的表达式) 第一步：由已知求出an，进一步求出Mn，mn及Bn； 第二步：求证d′>0时，{an}为等差数列； 第三步：求证d′<0时，数列{an}为等差数列； 第四步：求证d′＝0时，数列{an}为等差数列； 第五步：推出数列{an}的单调性； 第六步：求出n≤7时，An的表达式； 第七步：求出n>7时，An的表达式； 第八步：写出最终结果. n
2020届高考数学二轮复习专题《利用数列单调性求解相关问题》
