7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
1．先包含——A?B
重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?AB
把多加了1次的重叠部分AB减去．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．
1．先包含：A?B?C
重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC
重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A?B?C? AB?BC?AC计算时都被减掉了．
3．再包含：A?B?C?AB?BC?AC?ABC．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
例题精讲
两量重叠问题
【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳
绳。用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。
AB【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第3题 【解析】 阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 【答案】数学、音乐
【例 2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13.
那么该班有学生______________名。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第2题 【解析】 该班学生人数为：18?13?1?30（名）。 【答案】30名
【例 3】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小
组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
ACB【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分
C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28?12?16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29?12?17(人)．
方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16?12?17?45(人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：
参加语文或数学兴趣小组的人?参加语文兴趣小组的人?参加数学兴趣小组的人?两个小组都参加的人，即：28?29?12?45(人)．
【答案】45人
【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画
的分别有多少人？
ACB【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象
与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．
如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43?37?6(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，
有：58?37?21(人)．
【答案】21人
【巩固】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文
数学都没写完的有6人．
⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 由题意，有48?6?42(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：
30?20?42?8(人)．
⑵ 只写完语文作业的人数?写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30?8?22(人)．
【答案】22人
【巩固】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉
小提琴的至少有 人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题 【解析】 至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有46-34=12人 【答案】12人
【例 4】 如图，圆A表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除的数，
则阴影部分表示的数是 。
AB【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题 【解析】 阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3×5＝15整除的数，即15，30，45 【答案】15，30，45
【例 5】 学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中
有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报名
参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有 名学生．
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第5题 【解析】 321?429?50?23?723人 【答案】723人
【例 6】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这
个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，
就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12?23?5?30(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46?30?16(人)．
【答案】16人
【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，一12人两项比赛都参加了．
班有多少人两项比赛都没有参加？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26?22?12?36(人)，所以，两项比赛都没有参
加的人数为：45?36?9(人)．
【答案】9人
小学奥数教程：容斥原理之重叠问题(一)全国通用(含答案)
