kq2A1P2?k?q2A1B2?0 (2)
怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中?OP1A1与?OA1B1的关系．
2?的位置B1使下式成立，即 OP若等效电荷q11?OB1＝R 即
(3)
OP1OA1?OA1OB1 (4)则
△OPOA1B1 1A1∽△有
A1P1A1B1?OP1OA1?a R(5)
?，q1???由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1Rq1 a(6)
R2?的位置B1到原球壳中心位置O的距离 OB1?由 (3) 式知，等效电荷q1 (7)
aR???q2 同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷q2(8)
aR2?的位置B2到原球壳中心O位置的距离OB2?等效电荷q2 (9)
a解法Ⅱ：
?两者在A1点产生的电势和为零．有?，OB1?d．根据题意，q1和q1在图1中，设A1P1?r1，A1B1?r1?q1q1k?k?0（1＇）式中 r1?(R2?a2?2Racos?)12（2＇） r12r1?2） r1??(R?d?2Rdcos?)12 （3＇
2?(R2?a2?2Racos?) （4＇由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得q1） (R2?d2?2Rdcos?)?q12（4＇）式是以cos?为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意?均成立，等号两边的相应系数应相等，即
22?2(R2?a2) （5＇?2a （6＇）q1） q1(R2?d2)?q1d?q1由（5＇）、（6＇）式得ad2?(a2?R2)d?aR2?0 （7＇）
(a2?R2)?(a2?R2)解得d?
2a（8＇）
R2由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得d? （9＇）
aRR22???q1 （11＇??2q1 （10＇由（6＇）、（9＇）式有q1）考虑到（1＇）式，有q1）
aa2R2R???q2 （13＇同理可求得OB2? （12＇） q2）
aa?、?共同产生，2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、q1q2、q2即UA?kq?
?1R11R1??????PAaBAPAaBA?122??1(10)
6
A 因P1A?r?2racos??a
22B2 O ??a a P1 P2 RS 图2
2 B1 ?R2??R2?2???B1A?r?2r??a?cos???a? ????2?R2??R2?222???P2A?r?2racos??a B2A?r?2r??a?cos???a?
????代入 (10) 式得
?1RUA?kq?? ?222224ar?2raRcos??R?r?2racos??a?1r?2racos??a22??? ?a2r2?2raR2cos??R4?R(11)
评分标准：本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法第2问2分，即(11)式2分．
六、令I表示题述极短时间?t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；I?表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；vC表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，vB?vB表示?t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．由动量定理， 对C有I?sin??mvC (1)I?I?cos??mv (2) 对B有I?sin??mvB(3) 对AB有I?cos??2m?v?vB??
(4)
A (5)
???? I D 因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有
vCsin??vB?cos??vBsin?
由以上五式，可解得
C 3?sin2?I?mv
1?3sin2?E (6)
评分标准：本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．
七、解法Ⅰ：
当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．
设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势E?Bl?v1?v2?
(1)
7
当回路中的电流i随时间的变化率为?i?t时，回路中的自感电动势EL??L根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有E?EL?0
?i ?t(2) (3)
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有mv0?2mVC (4) 得 VC?v0 2(5)
VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．
现取一新的参考系S?，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O?，取坐标轴O?x?与x轴平行．设相对S?系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为u?，则有v1?VC?u (6)v2?VC?u? 因相对S?系，两杆的总动量为零，即有mu?mu??0 由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得2Blu?L(8)
(7)
?i ?t(9)
在S?系中，在t时刻，金属杆ab坐标为x?，在t＋?t时刻，它的坐标为x???x?，则由速度的定义
u??x? ?t(10)代入 (9) 式得2Bl?x??L?i (11)
若将x?视为i的函数，由（11）式知?x??i为常数，所以x?与i的关系可用一直线方程表示
x??Li?b 2Bl(12)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab在S?系中的坐标x?＝
1x0，这时i = 0，故得 2x??2Bl?1?L1i?x0 (13) 或i??x??x0? (14)
L?2?2Bl21?1?x0表示t＝?时刻金属杆ab的位置．x?表示在任意时刻t，杆ab的位置，故?x??x0?就是杆ab在
2?2?t时刻相对初始位置的位移，用X表示， X?x??1x0 2(15)
当X>0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得
i?2BlX (16) L2B2l2X 这时作用于ab杆的安培力F??iBl??(17) Lab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期
T?2π?m 222BlL?(18)
在任意时刻t， ab杆离开其初始位置的位移
?2π?X?Acos?t???
?T?
(19)
8
A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab杆的振动速度
?2π??2π?t??? u??A??sin??T??T?(20)
(19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t＝0时刻，ab杆位于初
始位置，即X = 0 速度u?v0?VC?v0?11v0?v0 22v0?2π???A??sin? 2?T?故有0?Acos?
解这两式，并注意到(18)式得??3π2 (21)
A?v0vT?04?2BlmL (22) 2由此得ab杆的位移X?v02BlmL3π?v?2πcos?t???022?2Bl?Tv1x0?022BlmL2πsint 2TmL2πsint 2T（23）
??由 (15) 式可求得ab杆在S?系中的位置xab(24)
因相对质心，任意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S?系中，cd杆的位置
相对地面参考系S，质心以VC?v1???x0?0xcd22BlmL2?sint 2T(25)
1v0的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab杆在地面参考系中的位置 2(26)
xab?x0?v1v0t?022BlmL?2??t sin?Bl?2mL???v1cd杆在S系中的位置xcd?v0t?022Bl回路中的电流由 (16) 式得i?mL?2???t sin?Bl2mL????mL2πm2??t sint?v0sin?Bl?2T2L?mL??（27）
2Blv0L2Bl(28)
解法Ⅱ：
当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度改变，使cd杆运动．设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为E?Bl?v1?v2? 令u表示ab杆相对于cd杆的速度，有EL?Blu(2’)
当回路中的电流i变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有
9
(1’)
EL??L?i ?t
(3’)
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有E?EL?0 由式(2’)、(3’)两式得Blu?L?i ?t(4’)
设在t时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为x?，在t＋?t时刻，ab相对于cd杆的距离为x?＋?x?，则由速度的定义，有u??x? ?t(5’) (6’)
代入 (4?) 式得Bl?x??L?i
若将x?视为i的函数，由(6’)式可知，?x??i为常量，所以x?与i的关系可以用一直线方程表示，即
x??Li?b Bl(7’)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为x0，这时i = 0，故得
BlL(9’) i?x0 (8’) 或i??x??x0?
LBlx0表示t＝?时刻金属杆ab相对于cd杆的位置．x?表示在任意时刻t时ab杆相对于cd杆的位置，故?x??x0?就是杆ab在t时刻相对于cd杆的相对位置相对于它们在t＝?时刻的相对位置的位移，即从t＝?到t＝t时间内ab杆相对于cd杆的位移X?x??x0 (10')
Bl于是有i?(11’) X
Lx???iBl?maab (12’) iBl?macd (13’)
两式相减并注意到(9?)式得m?aab 式中?aab任意时刻t，ab杆和cd杆因受安培力作用而分别有加速度aab和acd，由牛顿定律有
2B2l2?acd???2iBl??X
L(14’)
2B2l2?acd?为金属杆ab相对于cd杆的加速度，而X是ab杆相对cd杆相对位置的位移．是常
L数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期T?2π?m 222BlL?(15’)
?2π?t???(16’) 在任意时刻t，ab杆相对cd杆相对位置相对它们初始位置的位移X?Acos??T?A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得X随时间的变化率即速度
?2π??2π?V?A??sin????
?T??T?(17’)
现已知在t＝0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度V?v0
?2π?故有0?Acos? v0??A??sin?
?T? 10
解这两式，并注意到(15’) 式得??3π2 A?v0vT?02πBlmL 2(18’)
由此得X?v0BlmL3π?v?2πcos?t???022?Bl?TmL?2??t sin?Bl?2mL???因t = 0时刻，cd杆位于x = 0 处，ab杆位于x = x0 处，两者的相对位置由x0表示；设t时刻，cd杆位于x
= xcd 处，ab杆位于x = xab处，两者的相对位置由xab－xcd表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为 X = xab－xcd－x0 (19’) 所以
xab?xcd?x0?v0BlmL?2??t sin?Bl?2mL???(20’)
(12’)和(13’)式相加,m?aab?acd???iBl?iBl?0 得?aab?acd??0
由此可知，两杆速度之和为一常数即v0，所以两杆的位置xab和xcd之和应为
xab＋xcd = x0＋v0t 由(20’)和(21’)式相加和相减，注意到(15’)式，得xab?x0?v0t?(21’) （22’）
12v0mL?2???t sinBl??2Bl2?mL?xcd?v1v0t?022BlmL?2??t sin?Bl?2mL???（23’）
由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中电流i?v0?m2???t sin?Bl2L?mL??（24’）
评分标准：本题25分．解法Ⅰ 求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分． (23)式4分，(24)、(25)二
式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分．解法Ⅱ的评分可参照解法Ⅰ评分标准中的相应式子给分．
11
第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
