人教版高中数学选修2-2
1.1.2 导数的概念
学习目标：
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
2．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数． 3．掌握函数在一点处导数的定义． 核心扫描：
1．理解瞬时速度的意义，会求物体运动过程中某时刻t0的瞬时速度．
2．理解函数在某点处的导数是本节的难点，正确理解这一概念为进一步研究导数奠定基础. 课前探究学习：
自学导引
1．瞬时变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即lim?x?0f?x0??x??f?x0??y＝lim. ?x?0?x?x物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝s?t2?－s?t1?t2－t1
.
2．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limf?x0??x??f?x0??y＝lim，我们称它?x?0?x?0?x?x为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即f′(x0)＝limf?x0??x??f?x0??y＝lim. ?x?0?x?0?x?x名师点睛
1．对瞬时变化率的理解
(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．
Δs
(2)在平均变化率中，Δt趋近于0，是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意小的时间
Δt间隔，但始终不能为0.
Δs
(3)Δt，Δs在变化中都趋近于0，其比值趋近于一个确定的常数，这时此常数才称为Δtt0时刻的瞬时速度．
(4)瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋向于0时的值，其作用是刻
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人教版高中数学选修2-2 画函数值在x0点处变化的快慢． 2．对导数概念的理解
Δy
导数是在点x＝x0处附近的极限，是一个局部概念，y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是
Δx一个确定的数．
注意：(1)某点导数的概念包含两层含义： ①lim?y存在(惟一确定的值)，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，
?x?0?x?y不存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处不可导．
?x?0?xs?t0＋Δt?－s?t0?Δs
＝lim.
Δt?x?0Δt?x?0f?x?－f?x0?
与定义中的f′(x0)意义本质相同.
x－x0
②若lim(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度， 即v＝lim(3)f′(x0)＝lim
?x?0课堂讲练互动：
题型一 物体运动的瞬时速度
例1：一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
Δs
思路探索：求物体的瞬时速度，应先求出平均速度，再取极限．
Δt
规律方法：求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； Δs
(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度v＝；
Δt(3)求limΔs
的值，即得t＝t0时的瞬时速度． ?x?0Δt
变式1：如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )．
A．6 B．18 C．54 D．81
题型二 函数在某点处的导数
例2：求y＝x2在点x＝1处的导数．
规律方法 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤是：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
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Δyf?x0＋Δx?－f?x0?
(2)求平均变化率＝；
ΔxΔx(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim
变式2：求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数．
题型三 导数的实际意义
例3：一条水管中流出的水量y(单位：m3) 是时间x(单位：s)的函数y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 s和第6 s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义．
审题指导 先利用导数的定义求导，再利用导数就是瞬时变化率解释其实际意义． 题后反思：导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化率，例如高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率． 变式3：服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，试解释它们的实际意义．
Δy
.
?x?0Δx
——★ 参 考 答 案 ★——
课堂讲练互动：
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题型一 物体运动的瞬时速度
例1：解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1 ＝4aΔt＋aΔt2， ∴
Δs
＝4a＋aΔt. Δt
?x?0在t＝2 s时，瞬时速度为lim
Δs
＝4a，即4a＝8，∴a＝2. Δt
s?3＋Δt?－s?3?3?3＋Δt?2－3·3218Δt＋3Δt2
变式1：[解析]s＝3t2，∴＝＝＝3Δt＋18，
ΔtΔt?3＋Δt?－3
Δt→0
lim (3Δt＋18)＝18，∴在t＝3时的瞬时速度为18.
[答案]B
题型二 函数在某点处的导数
例2：解：Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，
Δy2Δx＋?Δx?2
＝＝2＋Δx， ΔxΔx∴limΔy
＝lim(2＋Δx)＝2.
?x?0Δx?x?0∴y′|x＝1＝2.
变式2：解：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，
Δy
＝2Δx＋16， Δx∴limΔy
＝lim (2Δx＋16)＝16，即y′|x＝3＝16.
?x?0Δx?x?0题型三 导数的实际意义
例3：解：在第2 s和第6 s时，水管流量函数的导数为f′(2)和f′(6)
根据导数的定义， Δyf?2＋Δx?－f?2?＝ ΔxΔx
?2＋Δx?2＋7?2＋Δx?＋15－?22＋7×2＋15?＝
Δx4Δx＋?Δx?2＋7Δx＝＝Δx＋11，
Δx所以f′(2)＝Δlim x→0
Δy
＝lim (Δx＋11)＝11 m3/s， ΔxΔx→0
同理可得f′(6)＝19 m3/s.
在第2 s与第6 s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在第2 s附近，水管流量大约以11 m3/s的速度流出，在第6 s附近，水管流量大约以19 m3/s的速度流出．
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变式3：解：f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，
血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)． f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，
血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．
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高中数学选修2-2学案8：1.1.2 导数的概念
