第八章 第四节 圆的方程
题组一
1.(2009·重庆高考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：由题意知圆心为(0,2)， 则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 答案：A
2．(2009·辽宁高考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 ( ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 解析：由圆心在直线x＋y＝0上．不妨设为C(a，－a)． |a－(－a)||a－(－a)－4|∴r＝＝，
22解得a＝1，r＝2. ∴C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 答案：B
3．若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0关于直线x－y＋1＝0对称，则实数a的值为________．
a2－1
解析：依题意知直线x－y＋1＝0经过圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0的圆心(－，2－a)，
a2－1所以－＋a＋1＝0，解得a＝3或a＝－1，
2
当a＝－1时，方程x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0不能表示圆，所以只能取a＝3. 答案：3
圆的方程的求法 4
题组二 与圆有关的最值问题 4.(2010·唐山模拟)若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m≥0的右上方．
?1＋m≥0，∴?|1＋m|?2≥1.
∴m的取值范围是m≥－1＋2. 答案：m≥－1＋2
y
5．若实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3，则的最大值为________．
x
yy－0y
解析：＝，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的
xx－0x直线与圆相切时该直线的斜率．
y|2k|
设＝k，则kx－y＝0.由＝3，得k＝±3， x21＋kyy
结合图形可得()max＝3，()min＝－3.
xx答案：3
题组三 与圆有关的轨迹问题 6.(2009·上海高考)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
22则x0＋y0＝4，连线中点坐标为(x，y)，
???2x＝x0＋4，?x0＝2x－4，则???， ???2y＝y0－2?y0＝2y＋2
22代入x0＋y0＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
7．(2010·茂名二模)从原点O引圆(x－m)2＋(y－3)2＝m2＋4的切线y＝kx，当m变化时，切
4
点P的轨迹方程是 ( ) A．x2＋y2＝4(x≠0) B．(x－3)2＋y2＝4(x≠0) C．(x－1)2＋(y－3)2＝5(x≠0) D．x2＋y2＝5(x≠0)
解析：圆心为C(m,3)，设点P(x，y)(x≠0)， 则|OP|2＋|PC|2＝|OC|2， ∴x2＋y2＋m2＋4＝m2＋32， 故所求方程为x2＋y2＝5(x≠0)． 答案：D
题组四 8.(2010·丰台模拟)以双曲线
y2－
圆的方程的综合问题 x2＝1的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( ) 3
A．(x－2)2＋y2＝4 B．x2＋(y－2)2＝2 C．(x－2)2＋y2＝2 D．x2＋(y－2)2＝4 解析：双曲线的右焦点的坐标为(0,2)，离心率e＝2. ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝4. 答案：D
9．(2010·南通调研)已知A(x1，y1)、B(x2，y2)是圆x2＋y2＝2上两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则x1x2＋y1y2＝________.
解析：OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，〈OA，OB〉＝120°，
OB＝|OA |·则x1x2＋y1y2＝OA·|OB|cos120°
1
＝2×(－)＝－1.
2答案：－1
2
10．已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，
t其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程． 解：(1)证明：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，
4
第八章 第四节 圆的方程
