高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析
一．考试内容：
椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.
双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.
二．考试要求：
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.
(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.
【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.
三．基础知识:
(一)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.
x2y2y2x22.椭圆的标准方程：2?2?1（a＞b＞0），2?2?1（a＞b＞0）.
abab23.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(二)椭圆的简单几何性质
x2y21.椭圆的几何性质：设椭圆方程为2?2?1（a＞b＞0）.
ab⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=?a和y=?b所围成的矩形里. ⑵ 对
称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0，-b）、B2（0，b）. 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e?c叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平aca程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e?（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
x2y2⑵ 准线：根据椭圆的对称性，2?2?1（a＞b＞0）的准线有两条，它们的方程
ab222ayx为x??.对于椭圆2?2?1（a＞b＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，
cab
1
a2即y??.
c3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
x2y2 设F1（-c，0），F2（c，0）分别为椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右两焦点，M
ab（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为MF1?a?ex，MF2?a?ex.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a=b+c、e?方程只需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程
222c两个关系，因此确定椭圆的标准a?x?acos?x2y2 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的参数方程为?（θ为参数）.
y?bsin?ab? 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：tan??btan?； ax2y222⑵ 椭圆的参数方程可以由方程2?2?1与三角恒等式cos??sin??1相比较
abx2y2而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方
ab?x?acos?程是?.
y?bsin??5.椭圆的的内外部
x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?ab6. 椭圆的切线方程
22x0y0?2?1. 2ab22x0y0??1. a2b2xxyyx2y2(1)椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.
ababx2y2 （2）过椭圆2?2?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
abx0xy0y?2?1. 2abx2y222222（3）椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c
ab(三)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.
若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
2
x2y2y2x22222. 双曲线的标准方程：2?2?1和2?2?1（a＞0，b＞0）.这里b?c?a，
abab其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
23.双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质
cx2y21.双曲线2?2?1的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e?＞1，离心率e越大，双
aab曲线的开口越大.
bx2y2x2y22. 双曲线2?2?1的渐近线方程为y??x或表示为2?2?0.若已知双曲线的
aababm渐近线方程是y??x，即mx?ny?0，那么双曲线的方程具有以下形式：
nm2x2?n2y2?k，其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1
x2y2的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线2?2?1，它的焦点坐标是（-c，
aba2a20）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是x??和x?.双曲线
ccx2y2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式 2aba2a2PF1?|e(x?)|，PF2?|e(?x)|.
cc4.双曲线的内外部
x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的内部?abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的外部?ab5.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22x0y0?2?1. 2ab22x0y0??1. a2b2x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.
aababxyx2y2b(2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.
abaabx2y2x2y2(3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x轴上，
abab??0，焦点在y轴上）.
6. 双曲线的切线方程
xxyyx2y2(1)双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.
ababx2y2（2）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
ab
3
x0xy0y?2?1. a2bx2y2（3）双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线Ax?B?yabA2a2?B2b2?c2.
C?0相切的条件是
(五)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。 2．抛物线的方程有四种类型：
y2?2px、y2??2px、x2?2py、x2??2py.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程x??p； 2（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：
p;y2??2px:PF??x1?2px2?2py:PF?y1?;x2??2py:PF??y1?2y2?2px:PF?x1?p2 p2（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x1+x2+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能
用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
2y24.抛物线y?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt,2pt)或 P(x?,y?)，其中
2py?2?2px?.
22b24ac?b2(a?0)的图象是抛物线：5.二次函数y?ax?bx?c?a(x?)?（1）顶点坐标
2a4ab4ac?b2b4ac?b2?1,)；,)；为(?（2）焦点的坐标为(?（3）准线方程是2a4a2a4a2 4
4ac?b2?1y?.
4a6.抛物线的内外部
(1)点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部?y2?2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的外部?y2?2px(p?0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的内部?y2??2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的外部?y2??2px(p?0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的外部?x2?2py(p?0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2??2py(p?0)的外部?x2??2py(p?0). 7. 抛物线的切线方程
(1)抛物线y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).
（2）过抛物线y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0).（3）抛物线y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC. (六).两个常见的曲线系方程
(1)过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是
f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).
x2y2?2?1,其中k?max{a2,b2}.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2a?kb?kk?min{a2,b2}时,表示椭圆; 当min{a2,b2}?k?max{a2,b2}时,表示双曲线.
(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或
AB?(1?k2)(x2?x1)2?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2?（弦端点
A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程??y?kx?b2 消去y得到ax?bx?c?0，??0,?为直线
?F(x,y)?0AB的倾斜角，k为直线的斜率）.
(八).圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0. （2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)?0.
A2?B2A2?B2四．基本方法和数学思想
F(x?22xy1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆2?2?1（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),ab则PF； 1?a?ex0,PF2?a?ex0（e为离心率）
22yx2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线?2?1（a>0,b>0）上任一点，焦点为2abF1(-c,0),F2(c,0),则:
（1）当P点在右支上时，PF1?a?ex0,PF2??a?ex0；
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高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析
