第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—3
1、已知A(1,2,3)，B(2,?1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程. 解：设M(x,y,z)是所求平面上任一点，据题意有|MA|?|MB|,
?x?1?2??y?2?2??z?3?2??x?2?2??y?1?2??z?4?2,
化简得所求方程2x?6y?2z?7?0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.
2、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程.
解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则
M(x,y,z)?C?22222MA?z 亦即 (x?4)?y?z?z ?(x?4)?y?0从而所求的轨迹方程为(x?4)?y?0.
3、 求下列各球面的方程：
（1）圆心(2,?1,3)，半径为R?6； （2）圆心在原点，且经过点(6,?2,3)； （3）一条直径的两端点是(2?3,5)与(4,1,?3)；（4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4) 解：（1）所求的球面方程为：(x?2)?(y?1)?(z?3)?36 （2）由已知，半径R?2222262?(?2)2?32?7，所以球面方程为x2?y2?z2?49
2?4?3?15?3?3,b???1,c??1， 222（3）由已知，球面的球心坐标a?球的半径R?1(4?2)2?(1?3)2?(5?3)2?21，所以球面方程为： 2(x?3)2?(y?1)2?(z?1)2?21
（4）设所求的球面方程为：x?y?z?2gx?2hy?2kz?l?0222
?l?0?l?0?16?8g?0?h??1??因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)，所以? 解之得?
?10?2g?6h?0?g??2???16?8k?0?k?2?所求的球面方程为x2?y2?z2?4x?2y?4z?0.
4、将yOz坐标面上的抛物线y2?2z绕z旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：x2?y2?2z(旋转抛物面) .
x2z25、将zOx坐标面上的双曲线2?2?1分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转
ac曲面的方程．
x2y2?z2x2?y2z2?1 绕z轴旋转得?2?1. 解： 绕x轴旋转得2?ac2a2c6、指出下列曲面的名称，并作图：
x2z2222222??1；（1）（2）y?2z；（3）x?z?1 ；（4）x?y?z?2x?0； 49x2y2??z?1； （5）y?x?z；（6）4x?4y?z?1；（7）
91622222x2y2x2y2z22222??z??1；???1；（8）（9）（10）2x?2y?1?3z.
43349解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛
物面；
（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面. 7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？
（1）y?x?1 ；（2）x?y2222?4；（3）x?y?1；（4）x2?2y.
解：（1）y?x?1在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）x?y22?4在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；
（3）x?y（4）x222?1在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；
?2y在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.
8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？
y2x2y2z22x2?y2?z2?1；(z?a)2?x2?y2 （1）?（2）（3）（4）??1；x??z2?14994x2y2x2z2解：（1）xOy平面上椭圆或者 xOz平面上椭圆???1绕x轴旋转而成；?14949绕x轴旋转而成
y22（2）xOy平面上的双曲线x??1绕y轴旋转而成；或者 yOz平面上的双曲线
42yz2??1绕y轴旋转而成
4（3）xOy平面上的双曲线x2?y2?1绕x轴旋转而成；或者 xOz平面上的双曲线x2?z2?1绕x轴旋转而成
（4）yOz平面上的直线z?y?a绕z轴旋转而成或者 xOz平面上的直线z?x?a绕z轴旋
转而成.
9、 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）3x?4y?2z?12?0与三个坐标平面所围成；（2）z?4?x,2x?y?4及三坐标平面所围成；
（3）z=0,z=a(a>0),y=x,x2+y2=1及x?0在第一卦限所围成；（4）z?x2?y2,z?8?x2?y2所围.
2解：（1）平面3x?4y?2z?12?0与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面z?4?x2与平面2x?y?4及三坐标平面所围成；
（3）坐标面z=0、x?0及平面z=a(a>0)、y=x和圆柱面x2+y2=1在第一卦限所围成；
（4）开口向上的旋转抛物面z?x2?y2与开口向下的抛物面z?8?x2?y2所围.作图略.
习 题 6—4
1、画出下列曲线在第一卦限内的图形
222???x?1?z?4?x2?y2?x?y?a（1）?；（2）?；（3）?
222?x?z?a??y?2??x?y?0解：（1）是平面x?1与y?2相交所得的一条直线； （2）上半球面z?4?x2?y2与平面x?y?0的交线为（3）圆柱面x2?y2?a2与x2?z2?a2的交线.图形略.
1圆弧； 4
第06章-向量代数与空间解析几何习题详解
