第3讲 基本不等式
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·延安模拟)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是
( )．
A．a＋b≥2ab ba
C.a＋b≥2
112B.a＋b＞ abD．a2＋b2＞2ab
baa×b＝2.
baba
解析 因为ab＞0，即a＞0，b＞0，所以a＋b≥2答案 C
11
2．(2014·杭州一模)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则a＋b的最小值是 ( )． A．2 C．4
1
B.4 D．8
bab×＝4，当且仅当aba＝
11a＋ba＋bba
解析 由题意a＋b＝a＋b＝2＋a＋b≥2＋2a1，即a＝b＝b2时，取等号，所以最小值为4. 答案 C
13．(2013·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋a，1
n＝a＋b，则m＋n的最小值是 A．3 C．5
B．4 D．6
( )．
11
解析 由题意知：ab＝1，∴m＝b＋a＝2b，n＝a＋b＝2a， ∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.
答案 B
4．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a 解析 设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a a2s＋s＝b 2sab2ab2ab ＝<＝ab. ?a＋b?sa＋b2ab B．v＝ab a＋b D．v＝2 ( )． ab－a2a2－a22ab 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. a＋ba＋ba＋b答案 A 5．(2014·南昌模拟)已知函数y＝x－4＋b，则a＋b＝ A．－3 C．3 解析 y＝x－4＋ 9 (x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值x＋1 B．2 D．8 999＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，x＋1x＋1x＋1 9 －5≥2x＋1 ?x＋1?× 9 －5＝1，当且仅x＋1 ( )． 所以由基本不等式得y＝x＋1＋当x＋1＝ 9 ，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，x＋1 b＝1，a＋b＝3. 答案 C 二、填空题 6．(2014·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________． 解析 (1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号． 答案 9 2 xy 7．已知x，y∈R＋，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为______． xy 解析 ∵x＞0，y＞0且1＝3＋4≥2y＝2时取等号． 答案 3 8．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mnxyxy3，∴xy≤3.当且仅当＝，即当x＝12342， ＞0)上，则11 m＋n的最小值为________． 解析 ∵y＝a1－x恒过点A(1,1)， 又∵A在直线上， ∴m＋n＝1. 而11m＋nm＋nnm m＋n＝m＋n＝2＋m＋n≥2＋2＝4， 当且仅当m＝n＝1 2时，取“＝”， ∴11 m＋n的最小值为4. 答案 4 三、解答题 9．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：111 a＋b＋ab≥8. 证明 111＝11a＋b?11?a＋b＋aba＋b＋ab＝2??a＋b??， ∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴11a＋ba＋b2＋ab a＋b＝a＋b＝b＋a≥2＋2＝4， ∴1118??1?当且仅当a＝b＝2时等号成立? a＋b＋ab≥??. 10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； (2)求11 x＋y的最小值． 解 (1)∵x>0，y>0， 3 ∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因?2x＋5y＝20，?x＝5，此有?解得? ?2x＝5y，?y＝2，此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. 5y2x?1?11?11?2x＋5y1? ＋7＋???(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝xy·20＝20≥?x＋y?????20?7＋2 7＋2105y2x 20，当且仅当x＝y时，等号成立． 2x＋5y＝20，?? 由?5y2x ＝，??xy 5y2x? ?＝x·y? 1010－20??x＝3， 解得? 20－410?y＝.?3 7＋21011 ∴x＋y的最小值为20. 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、选择题 1 1．(2014·宝鸡模拟)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋ab的最小值为 7A.2 161C.36 ( )． B．4 17D.2 11 解析 因为1＝a＋2b≥22ab，所以ab≤8，当且仅当a＝2b＝2时取等号．又1?1111?因为a2＋4b2＋ab≥2a2·4b2＋ab＝4ab＋ab.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋t在?0，8? ??1?1?17 单调递减，所以f(t)min＝f?8?＝2.此时a＝2b＝2. ?? 4 答案 D 21 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) C．(－2,4) 21 解析 ∵x>0，y>0且x＋y＝1， 4yx?21?∴x＋2y＝(x＋2y)?x＋y?＝4＋x＋y ??≥4＋2 4yxx·y＝8， ( )． B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－4,2) 4yx 当且仅当x＝y， 即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－4 3．(2014·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． ?x＋3y?2 ?，令x＋解析 由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤? ?2?3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6. 答案 6 三、解答题 4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ 5
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