拉普拉斯方程水平集方
法等
文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种。 定
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量
义
x、y、z二阶的实函数φ ：
上面的方程常常简写作： 或
其中div表示的（结果是一个），grad表示标量场的（结果是一个），或者简写作：
Δφ = 0 其中Δ称为.
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：
则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是
Laplace operator 或简称作 Laplacian。
拉普拉斯方程的可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为。可以根据该原理将复杂问题的已知简单组合起来，构造适用面更广的。 二维拉普拉斯方程
（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 解析函数
解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x+ iy，并且 那么f(z)是解析函数的是u(x,y)，v(x,y)可微，且满足下列柯西-黎曼方程： 上述方程继续求导就得到
所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。 反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式： 则等式
成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：
拉普拉斯方程水平集方法等
