学案6 函数的奇偶性与周期性
导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．
自主梳理
1．函数奇偶性的定义
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．
2．奇偶函数的性质
(1)f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝____； f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)＝f(|x|)?f(x)－f(－x)＝____. (2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数?f(x)的图象关于_____ ___ 对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
3．函数的周期性
(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．
(2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋)＝f(x－)．
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②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．
③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝11
或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．
TTfxfx自我检测
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1．已知函数f(x)＝(m－1)x＋(m－2)x＋(m－7m＋12)为偶函数，则m的值是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2011·茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 ( )
A．增函数且最小值是－5 B．增函数且最大值是－5 C．减函数且最大值是－5 D．减函数且最小值是－5
1
3．函数y＝x－的图象
x( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
4．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有
f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 012)＋f(2 011)的值为 ( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
1
5．(2011·开封模拟)设函数f(x)＝
x＋1
xx＋a为奇函数，则a＝________.
探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．
1－x11
(1)f(x)＝(x＋1) ；(2)f(x)＝x(x＋)；
1＋x2－12
??x＋x， x<0，2
(3)f(x)＝log2(x＋x＋1)；(4)f(x)＝?2
?－x＋x，x>0.?
2
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．
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(1)f(x)＝x－x；
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(2)f(x)＝x－1＋1－x；
2
4－x(3)f(x)＝.
|x＋3|－3
探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用
例2 函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求
1
不等式f[x(x－)]<0的解集．
2
3
变式迁移2 (2011·承德模拟)已知函数f(x)＝x＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．
探究点三 函数性质的综合应用
例3 (2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
变式迁移3 定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
转化与化归思想的应用
例 (12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
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(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答题模板】
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分] (2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
1
∴f(－1)＝f(1)＝0.[4分]
2
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分] (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分] ∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分] ∵f(x)为偶函数，
∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D. ∴0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]
711
解上式，得3 333711 ∴x的取值范围为{x|－≤x<－或－ 333 【突破思维障碍】 在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g(x)|>0，从而得出0<|g(x)|≤a，解之得x的范围． 【易错点剖析】 在(3)中，由f(|(3x＋1)·(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误． 1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． 2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?f－x＝±1(f(x)≠0)． fx3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性． 4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝11 或f(x＋a)＝－(a为常数且a≠0)，则f(x)的一个周期为2a fxfx (满分：75分) 3
高考数学一轮复习 第二章 函数的奇偶性与周期性学案6 文(含解析)
