而直线5x﹣2y+c=0的斜率为＞2， 所以直线5x﹣2y+c=0与函数
的图象不相切．
点评： 本小题主要考查三角函数性质及图象的基本知识，考查推理和运算能力．是综合题，常考题型． 18．（12分）
考点： 平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题． 专题： 证明题；综合题；转化思想． 分析： 法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、
PD即可；
（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）求出面PCD； （Ⅱ）
，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥
，计算．即可求得结果．
（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使计算
即可取得结果．
，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出，
解答： 法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD． 又CD?面PCD， ∴面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA， 则∠PBE是AC与PB所成的角．
连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90° 在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，
∴
．
．
∴AC与PB所成的角为
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN． 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角 ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM． 在等腰三角形AMC中，AN?MC=
，
∴∴AB=2， ∴
故所求的二面角为
．
．
法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0）， D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为故
，所以AP⊥DC．
，
又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD． 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）解：因故
=
，
，
所以
由此得AC与PB所成的角为．
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z）， 则存在使
，
，
∴x=1﹣λ，y=1，z=λ． 要使AN⊥MC，只需解得
．可知当
即时，N点坐标为
，
有
由
得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．
，
，能使
．
∵∴
．
，
故所求的二面角为arccos．
点评： 本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化
思想，是中档题．
19．（12分）
考点： 等比数列的性质；数列的求和． 专题： 综合题． 分析：
（Ⅰ）设等比数列通式an=a1q
（n﹣1）
，根据S1＞0可知a1大于零，当q不等于1时，根据sn=
＞0，进而可推知1﹣qn＞0且1﹣q＞0，或1﹣qn＜0且1﹣q＜0，进而求得q的范围，当q=1时仍满足条件，进而得到答案．
（Ⅱ）把an的通项公式代入，可得an和bn的关系，进而可知Tn和Sn的关系，再根据（1）中q的范围来判断Sn与Tn的大小．
解答： 解：（Ⅰ）设等比数列通式an=a1q
根据Sn＞0，显然a1＞0，
当q不等于1时，前n项和sn=
（n﹣1）
所以＞0 所以﹣1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1
当q=1时 仍满足条件 综上q＞0或﹣1＜q＜0 （Ⅱ）∵∴bn==anq2﹣anq
=an（2q2﹣3q）
∴Tn=（2q2﹣3q）Sn∴Tn﹣Sn=Sn（2q2﹣3q﹣2）=Sn（q﹣2）（2q+1） 又因为Sn＞0，且﹣1＜q＜0或q＞0，
所以，当﹣1＜q＜﹣或q＞2时，Tn﹣Sn＞0，即Tn＞Sn； 当﹣＜q＜2且q≠0时，Tn﹣Sn＜0，即Tn＜Sn； 当q=﹣，或q=2时，Tn﹣Sn=0，即Tn=Sn．
点评： 本题主要考查了等比数列的性质．在解决数列比较大小的问题上，常利用到不等式的性质来解决．
20．（12分）
考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
分析： 首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率，由题意知一共种了3个坑，每个坑至
多补种一次，每补种1个坑需10元，得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，根据独立重复试验得到概率的分布列．
解答： 解：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率p=1﹣C330.53=0.875
由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元 得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30， ξ=0，表示没有坑需要补种， 根据独立重复试验得到概率 P（ξ=0）=C330.8753=0.670
P（ξ=10）=C320.8752×0.125=0.287 P（ξ=20）=C31×0.875×0.1252=0.041 P（ξ=30）=0.1253=0.002 ∴变量的分布列是
∴ξ的数学期望为：Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75
点评： 考查运用概率知识解决实际问题的能力，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至
少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．
21．（14分）
考点： 平行向量与共线向量；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 压轴题．
分析： （Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关
系，从而求得椭圆的离心率
（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．
解答：
解：（1）设椭圆方程为
则直线AB的方程为y=x﹣c，代入化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0． 令A（x1，y1），B（x2，y2），
，
则∵
．
与共线，
∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c， ∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0， ∴
．
即
所以a2=3b2． ∴故离心率
，
， ．
（II）证明：由（1）知a2=3b2， 所以椭圆
设M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）， ∴
可化为x2+3y2=3b2．
∵M（x，y）在椭圆上，
∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．
即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．① 由（1）知
．
∴，
=0．
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2=
又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2， 代入①得λ2+μ2=1．
故λ2+μ2为定值，定值为1．
点评： 考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程
联立用韦达定理．
是高考常见题型且是解答题．
22．（12分）
考点： 频率分布直方图． 专题： 计算题；压轴题．
分析： （1）根据总体的概念：所要考查的对象的全体即总体进行回答；
（2）根据频率=频数÷总数进行计算；
（3）首先计算样本中的频率，再进一步估计总体．
解答： 解：（1）总体是某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩．
（2）
，
答：竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率为0.25． （3）
，
答：估计全校约有300人获得奖励．
点评： 考查了总体的概念，掌握频率=频数÷总数的计算方法，渗透用样本估计总体的思想．
2005年全国1卷高考数学试卷（理科）q
