2005年全国1卷高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（ ） A． B． S1?（CIS2∩CIS3） CIS1∩（S2∪S3）=Φ C． CIS1∩CIS2∩CIS3）=Φ D． S1?（CIS2∪CIS3） 2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
8π 4π A． B． C． D．
3．（5分）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
A． C． D． B． 4．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）
A．
5．（5分）已知双曲线 A．
6．（5分）当0＜x＜ A． 2
时，函数
B．
的最小值为（ ） C． 4
D．
﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
B．
C．
D．
B．
C．
D．
7．（5分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A． 1
B． ﹣1
C．
D．
8．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x﹣2ax﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ） A． （﹣∞，0） B． （0，+∞） C． D． （﹣∞，loga3） （loga3，+∞） 9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x﹣y）|（x，y）∈A}的面积为（ ）
A． 2
B． 1 C．
D．
10．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：
①tanA?cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤， ③sin2A+cos2B=1， ④cos2A+cos2B=sin2C， 其中正确的是（ ）
①③ ②④ ①④ A． B． C． 11．（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ） A． 18对 B． 24对 C． 30对
12．（5分）复数
=（ ）
C． 2
﹣i
②③ D．
D． 36对
A． ﹣i B． i
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
﹣
D． ﹣2+i
13．（4分）若正整数m满足10m1＜2512＜10m，则m= _________ ．（lg2≈0.3010）
14．（4分）
15．（4分）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m=
的展开式中，常数项为 _________ ．（用数字作答）
_________ ． 16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则： ①四边形BFD′E一定是平行四边形； ②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形； ④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D． 以上结论正确的为 _________ ．（写出所有正确结论的编号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）设函数f（x）=sin（2π+?）（﹣π＜?＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x﹣2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．
．
18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
19．（12分）设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，…）． （Ⅰ）求q的取值范围； （Ⅱ）设
，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．
20．（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01） 21．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与=（3，﹣1）共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且
，证明λ2+μ2为定值．
22．（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题． （1）指出这个问题中的总体；
（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；
（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．
2005年全国1卷高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）
考点： 交、并、补集的混合运算．
分析： 根据公式CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB），容易判断． 解答： 解：∵S1∪S2∪S3=I，
∴CIS1∩CIS2∩CIS3）=CI（S1∪S2∪S3）=CII=?． 故答案选C．
点评： 本题主要考查了集合的交，并，补运算，公式CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩
（CUB）是一个重要公式，应熟记．
2．（5分）
考点： 球的体积和表面积；球面距离及相关计算． 专题： 计算题．
分析： 求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积． 解答： 解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1
球的半径为：R=
所以球的表面积：4πR2=4π×
=8π
故选B．
点评： 本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 3．（5分）
考点： 直线与圆的位置关系；直线的斜率．
分析： 圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．
解答： 解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点
故∴
故选C．
点评： 本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题． 4．（5分）
考点： 组合几何体的面积、体积问题． 专题： 计算题．
分析： 该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积． 解答：
解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2，底面三角形的底为1，高为：
其体积为：
割去的四棱锥体积为：所以，几何体的体积为：故选A．
，
， ，
2005年全国1卷高考数学试卷（理科）q
