2024年全国硕士研究生入学统一考试
超 越 考 研
数学（一）模拟（四）解答
（科目代码：301）
考生注意事项
1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。
2.答案必须书写在答题纸指定位置的边框区域内，写在其他地方无效。
3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。
4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。
数学一模拟四试题 第 1 页（共8页）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
（1）答案：选（B）．
1(a?b?1)；当x?1时，f(x)?x2． 2由limf(x)?f(1)得a?b?1．又f??(1)?a,f??(1)?2，故a?2,b??1． 解 当x?1时，f(x)?ax?b；当x?1时，f(x)?x?1（2）答案：选(C). 解 当(x,y)(0,0)时，fx(x,y)2x(x2y2)1；当(x,y)(0,0)时， fx(0,0)而 limfx(x,y)xy00limx0f(x,0)xf(0,0)limx2x010. lim2x2x010fx(0,0)，所以fx(x,y)在点(0,0)处连续.由x,y得对称性知fy(x,y)也在点(0,0)处连续，故选(C). （3） 答案：选(D). 解 a2 11xcos2xdx121010xcos2xdx110xd(sin2x) 1xsin2x1sin2xdx01cos2x2200. 因为f(x)是偶函数，所以b2 （4）答案：选（C）． 解 由洛必达法则，limx?00，故选(D). f(x)?f(0)（C）正?limf?(x)存在，所以f(x)在点x?0处可导，x?0x确． （A）反例：取1xn?1?,n?1,2,n，则0?xn?1n,?1,，但11nlimxn?lim(1?)n??0． n??n??ne111 （B）反例：取f(x)?x为单增函数，x1?1，则xn?1?xn?n,(n?1,2,)为单减数222列． （D）反例：取f(x)?e,g(x)?0，则f(x)?g(x)，但 （5）答案：选（A）. x?01edx?1?e??0dx?0． 1x0?A解 由于r(A)?r?T??由r(A)?r?????r(A?)?r(A)，知r(A)?r(A?)，则Ax??有解；同理，a??A?Tr?T??r(A?)，即ATx??有解，从而????A??T???A??r??T??r(A)，知r(A)?a????Ax??与ATx??都有解，故选（A）. 数学一模拟四试题 第 2 页（共8页）
（6）答案：选（C）.
解 由题意知A的特征值只能为?1，而trA??1，则A的特征值为?1,?1,1，二次型
22f(x1,x2,x3)?xTAx的规范形为?y12?y2?y3,故选（C）.
（7）答案：选（D）．
解 以连续型随机变量为例．
设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，则当x?0时，f(x)?0， 所以
EX?? ???0??0xf(x)dx??[1??t????0[?f(x)dt]dx??0??0x??0[???tf(x)dx]dt
???f(x)dx]dt??[1?F(t)]dt??0[1?F(x)]dx．
本题也可设X~U[0,1]，直接验证即可. （8）答案：选（D）．
解 设Ai:所取的两个球有i个黑球（i=1,2），B:从两个球中取得的是黑球，则A1,A2构成完备事件组，且P(A1)?4?3?224?31?,P(A2)??，从而 3633632. 3 P(B)?P(A1B)?P(A2B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)? 二、填空题:9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． 1”． 2xxx1f(?)f(?)?f[ 解 an?lim{x?0xn(?1?33?5(n2?1)21xxxf[]?f(0)f()?f(0)f()?f(0)111n?n?(21)(21)1?33?5?lim{???}x?01?3xxx?n?n?35(21)(21)?0?0?01?33?5(2n?1)(2n?1)111111111?[???]f?(0)?(1??????) 1?33?5(2n?1)(2n?1)23352n?12n?111?(1?)， 22n?1111所以 limliman??(1?)． n??2n??22n?132 （10）答案：“?”． 16（9）答案：填“解 ?所以 ?4????eadxsinx?arctn?44xt??x????4ts?in?4tedta?rct?a?n?4??4t??2?sine(tdt ar??sinx????(?2 arcetadxn?)?2??xx?xdxsi?n????x?sinexdxar，c ?1??3!!?3244 ?sinx?arctanedx???sinxdx???2sinxdx??????． ?0???224!!216(11)答案：填“2ln21”. 解 把原积分化为二重积分，积分区域是由直线yx,x1及x围成的三角形D， 数学一模拟四试题 第 3 页（共8页）
原积分
Dln(1x)dx10x0ln(1x)dydxxln2xln(110ln(110x)dx xln(1x)1010x1xdxx)2ln2 1. （12）答案：填“?a”. x2?y2ln(x?a2?x2)1 解 I???dsLa2a2?L(x2?y2ln(x?a2?x2))ds. 因为L关于y轴对称，而y2ln(x?a2?x2)是关于变量x轴的奇函数，所以 ?1I?2a I?Ly2ln(x?a2?x2)ds?0， 1?asin??ad??4a?2sin2?d??4a????a. 022221xds??La22?2?0?或由轮换对称性 1a2?Lx2ds?12a2?L(x2?y2)ds?12a2?La2ds?12??2?a??a． a22a1 （13）答案：填“”. 3解 由题意可知，矩阵A的三个特征值为?1?1,?2??1,?3??2，故2E?A的特征值为1,3,4，于是，2E?A?12.故 ?2E?A?O?4?1O??B?*??2E?A??1??B?*?121B?.123 （14）答案：填“e” 解法一 由X?2(2)知X?X12?X22，其中Xi2N(0,1),i?1,2.且X1和X2相互独立.又 EX2?DX??EX??4?22?8 P{X?EX}?P{X?8}?P{X1?X2?8}?1?P{X1?X2?8} ?1?22222?2?0d??2201?r2e?rdr?e?4 2?2 解法二 由X?2(2)知X?1?E??，又EX2?8，故P{X?8}?e?4 ?2? 三、解答题:15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）解 (Ⅰ) y??2xy? y?e??(?2x)dx13x的通解为 313?(?2x)dx13?x21x2x2[?xedx?C]?e[?xedx?C]?Ce?(1?x2)． 336数学一模拟四试题 第 4 页（共8页）
(Ⅱ)法一 y???2xy??2y?x2可变形为
y???2(xy)??x2， 即 (y??2xy?)?2x．
两边积分，得y??2xy?131x?C1．由y(0)?1,y?(0)?0得C1?0，故y??2xy?x3． 331317x22由(Ⅰ)知y??2xy?x的通解为y?Ce?(1?x)．由y(0)?1得C?，所以 366721y?ex?(1?x2)． 662法2 所给方程y???2xy??2y?x两边从0到x积分，得 ?x0y??(t)dt?2?ty?(t)dt?2?y(t)dt??t2dt， 000xxxxx1313x?利用分部积分法，得y(x)?2[ty(t)0??y(t)dt]?2?y(t)dt?x，化简得y??2xy?x． 003131x22由(Ⅰ)知y??2xy?x的通解为y?Ce?(1?x)．由y(0)?1得C?，所以 366721y?ex?(1?x2)． 66 （16）解 令x?n??t，则 an?1??n?0(n??t)sintdt?n??n?0sintdt?1??n?0tsintdt nn?n2所以an??sintdt?202??0sintdt?n2,（n?1,2,3,），从而 ?(?1)n(?1)n1??(?1)n(?1)n??(?1)n1??2??????? ??2n?1?2n?12n?1?n?12n?12n?14an?1n?14n?1(?1)n2n?1 考虑幂级数f(x)??x，易知其收敛域为[?1,1].由于 n?12n?1? f?(x)??(?1)nx2n?2?n?1??11?x2(?1?x?1)， 从而 f(x)?f(0)???x0f?(t)dt???1dt??arctanx（?1?x?1）， 01?t2x?(?1)n1??(?1)n??. 所以??f(1)??，因此?4a124??2n14n?1n?1n （17）解 曲线C与x轴，y轴所围图形绕y轴旋转一周所生成立体体积为 V???(1?y)dy???u4?2(1?u)(?du)?01141?y?u0?15（为定值）． 因此，问题转化为求切线l与x轴，y轴所围三角形区域绕y轴旋转一周所得立体体积的最大值． 数学一模拟四试题 第 5 页（共8页）
2024 年全国硕士研究生入学统一考试(数学一模拟4答案)
