一元二次方程根的判别式 新知学习
板块一、根的判别式
1.定义
b2b2?4ac运用配方法解一元二次方程过程中得到 (x?)?，显然只有当b2?4ac?0时，才能22a4abb2?4ac??直接开平方得：x?．也就是说，一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)只有当系数a、22a4ab、c满足条件??b2?4ac?0时才有实数根．这里b2?4ac叫做一元二次方程根的判别式．
2.判别式与根的关系
2ax?bx?c?0(a?0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情在实数范围内，一元二次方程
2况（是否有实数根）由??b?4ac确定．
2ax?bx?c?0(a?0)，其根的判别式为：??b2?4ac则 设一元二次方程为
2ax?bx?c?0(a?0)有两个不相等的实数根??0?①方程
x1,2?b?b2?4ac?2a．
②??0?方程ax?bx?c?0(a?0)有两个相等的实数根
2③??0?方程ax?bx?c?0(a?0)没有实数根．
2x1?x2??b2a．
板块二、韦达定理
如果ax?bx?c?0(a?0)的两根是x1，x2，则
2x1?x2??bcx1x2?a，a．（隐含的条件：??0）
2xxx12特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程?px?q?0的两个根，
则x1?x2??p，x1?x2?q．
基础演练
一．根的判别式的应用
1.运用判别式，判定方程实数根的个数
【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2?3x?4?0；（2）ax2?bx?0（a?0）
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【练一练】不解方程判定下列方程根的情况：
（1）2x2?3x?4?0；（2）3x2?2?26x； （3）322x?1?x；（4）(2m2?1)x2?2mx?2?0； 22（5）x2?2ax?a?1?0；（6）3x2?2x?2?0；（7）4x(x?1)?3?0；（8）(x?1)(x?2)?m2
2222x?(a?b?c)x?(a?b?c)?0 acxb【例2】 已知，，是不全为0的3个实数，那么关于的一元二次方程
的根的情况（ ）． A．有2个负根 C．有2个异号的实根
B．有2个正根 D．无实根
【例3】 不解方程，判别一元二次方程2x2?6x?1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定
2.利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围
【例4】 m取什么值时，关于x的方程x2?2(3?mx)2?6有两个相等的实数根
【练一练】关于x的一元二次方程kx2?6x?9?0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． k?1 B． k?0 C．k?1且k?0 D． k?1
2【练一练】方程kx?6x?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________
2(m?1)x?2mx?m?2?0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是x【练一练】若关于的二次方程
____________
【例5】 已知a，b，c为正数，若二次方程ax2?bx?c?0有两个实数根，那么方程a2x2?b2x?c2?0的
根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个不相等的负实数根 D．不一定有实数根
【练一练】若方程(m?2)x2?2(m?1)x?m?0只有一个实数根，那么方程(m?1)x2?2mx?m?2?0
（ ）．
A．没有实数根 C．有2个相等的实数根
B．有2个不同的实数根 D．实数根的个数不能确定
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2(k?1)x?2x?1?0有实数根，则k的最小整数值为_________ x【例6】 若关于的一元二次方程
【例7】 关于x的一元二次方程(1?2k)x2?2k?1x?1?0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【练一练】关于x的方程x2?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________．
【练一练】已知关于x的方程x2?2(m?1)x?m2?5?0有两个不相等的实数根，化简：
|1?m|?m2?4m?4
【练一练】已知关于x的一元二次方程x2?1?mx?m?0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【练一练】k为何值时，方程(k?1)x2?(2k?3)x?(k?3)?0有实数根．
【例8】 关于x的方程?a?6?x2?8x?6?0有实数根，则整数a的最大值是 ．
【练一练】若方程x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0有实数根，求：正整数a．
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【例9】 已知关于x的方程x2??a?b?x?12?b?2b?1??0有两个相等的实数根，且a、b为实数，则23a?2b?________．
【练一练】当a、b为何值时，方程x2?2?1?a?x?3a2?4ab?4b2?2?0有实根？
【例10】 当m为何值时，关于x的方程(m2?4)x2?2(m?1)x?1?0有实根．
【练一练】k为何值时，方程(k?1)x2?(2k?3)x?(k?3)?0有实数根．
【练一练】当a、b为何值时，方程x2?2?1?a?x?3a2?4ab?4b2?2?0有实根？
【例11】 已知：方程mx2?2?m?2?x?m?5?0没有实数根，且m?5，求证：?m?5?x2?2?m?2?x?m?0有两个实数根．
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求m、n的值． x2?(4?m)x?n?6?0有两个相等的实数根，x2?(m?4)x?n?1?0没有实数根，
【例12】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2?(7?m)x?3?n?0有两个不相等的实数解，
3.通过判别式，证明与方程相关的代数问题
【例13】 对任意实数m，求证：关于x的方程(m2?1)x2?2mx?m2?4?0无实数根．
【练一练】求证：关于x的一元二次方程x2?(2?m)x?1?m?0有两个实数根．
【练一练】已知实数a、b、c、r、p满足pr?2，pc?2b?ra?0，求证：一元二次方程ax2?2bx?c?0
必有实根．
【练一练】证明：无论实数m、n取何值时，方程mx2?(m?n)x?n?0都有实数根
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判别式(全国人教版)
