1.绪论及点、直线、平面的投影解析 - 图文

授课内容 备注 绪论及点、直线、平面的投影 教学目的：了解本课程的性质和任务；了解投影法的一般知识，建立正投影的 基本概念；掌握点、直线、平面在第一分角中三面投影的作图方法和投影特性； 能求作一般位置直线段实长和倾角；能判断和求作平面上的点和直线及直线上 的点；能判断和求作两直线平行、相交和交叉；了解直线与平面以及两平面之 间的平行、相交的投影特性和作图方法（相交是，其中有一个元素对投影面处 于特殊位置）。 教学重点：正投影法基本原理；点的投影规律及点的投影的画法；各种位置直 线的投影特性，画直线投影的方法；平面的三面投影、各种位置平面的投影特 性，画和读平面投影的方法；直线与平面以及两平面之间的平行、相交的投影 特性和作图方法。 教学难点：点的坐标与投影的关系；如何利用直线的投影特性求做直线的投影； 利用平面的投影特性完成平面的投影作图。 教学方法及手段：讲授法、练习法 课外作业：P6:3、4；P6:5，P7:2、4、5；P9:3、6、7；P10: 4、6 学时分配：8个学时 自学内容： 换面法 教学内容： §0 绪论 一、本课程的性质 （一）课程性质：本课程研究绘制和阅读工程图样的原理和方法，培养学生的 形象思维能力，是一门既有系统理论又有较强实践性的技术基础课。 （二）研究内容：学习绘制和阅读工程图样的原理和方法。 （三）工程图样重要性：工程图样按规定的方法表达出机器或建筑物的形状、 大小、材料和技术要求，是表达和交流技术思想的重要工具，是技术部门的一课程的性种重要技术文件。 质、内容、二.本课程的基本内容 任务和学（一）画法几何：学习用正投影法图示空间几何形体和图解简单空间几何问题习方法 的基本原理和方法。 （二）制图基础：学习国家标准《机械制图》和《技术制图》的基本规定，训 练用工具和仪器的尺规绘图，培养绘制和阅读投影图的基本能力，学习标注尺 寸的基本方法。 （三）机械图：: 培养绘制和阅读常见机器或部件的零件图和装配图的基本能 力，并以培养读图能力为重点。 三、本课程的主要任务 （一）学习正投影法的基本原理及其应用 （二）培养绘制和阅读机械图样的基本能力 （三）培养图解简单空间几何问题的能力 （四）培养对三维形状与相关位置的空间逻辑思维能力和形象思维能力 （五）培养工程意识，以及贯彻、执行国家标准的意识 四.本课程的学习方法

授课内容 （一）要坚持理论联系实际的学风。要认真学习投影原理，在理解基本概念的基础上，由浅入深地通过一系列的绘图和读图实践，不断地由物画图、由图想物，分析和想像空间形体与图纸上图形之间的对应关系，逐步提高对三维形状与相关位置的逻辑思维能力和形象思维能力，掌握正投影的基本作图方法及其应用。 （二）做习题和作业时，应在掌握有关基本概念的基础上，按照正确的方法和步骤作图，养成正确使用绘图工具和仪器的习惯。 （三）熟悉制图的基本规定和基本知识，遵守有关国家标准的规定，会查阅和使用有关的手册和国家标准，通过习题和作业培养绘图和读图能力 。 （四）制图作业应做到：投影正确，视图选择与配置恰当，图线分明，尺寸齐全，字体工整，图面整洁。 （五）由于图样在生产建设中起着很重要的作用，绘图和读图的差错都会带来损失。所以在做习题和作业时，应培养认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风。 §1. 点、直线、平面的投影 §1.1 投影法的基本知识 一、投影法与正投影的基本规律 （一）投影概述 在自然现象中，物体在光线的照射下会在某一平面上产生物体的影子，这就是物体在平面上的图像。人类通过科学地总结影子与物体的几何关系，逐步形成了把空间物体表示在平面上的基本方法，即投影法。如图所示。 备注 投影概述 用光线照射物体，在预设的平面上获得物体图形的方法称为投影法,如图所示。光源S称为投射中心，预设的平面P称为投影面，投影面上得到的物体图形称为该物体的投影。

授课内容 备注 （二）投影法的分类 投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类。 1．中心投影法 投射线从投射中心出发，在投影面上获得物体投影的方法，称为中心投影法， 所得的投影称为中心投影。工程上常用中心投影法画建筑透视图，它用于反映投影法的物体的立体形状，不注重表达物体的尺寸大小。 分类 2．平行投影法 用相互平行的投射线，在投影面上作出物体投影的方法，称为平行投影法。 平行投影法又分为斜投影法和正投影法： 斜投影法——投射线倾斜于投影面。 正投影法——投射线垂直于投影面。 由于正投影法度量性好，作图方便，能正确地反映物体的形状和大小，所以工 程图样多数用正投影法绘制。在以后各章节中，如无特殊说明，投影均指正投 影。 （三）正投影法的投影特性 1.真实性 当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长，平面 的投影反映实形，如图（a）所示。 2.积聚性 当直线或平面垂直于投影面时，则直线的投影积聚成一点，平 面的投影积聚成一直线，如图（b）所示。 3.类似性 当直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但小于正投影的实长；平面的投影面积变小，形状与原来形状相似，如图（c）所示。 基本特性 （四）多面正投影： 如下图所示，由于根据点和物体的一个投影是不能完全确定它们在空间的 形状和位置的，因此常将几何形体放置在两个或更多的投影面之间作投影，以 形成多面正投影。

授课内容 备注 多面正投影 定义：GB/T 16948—1997规定：物体在互相垂直的两个或多个投影面上得 到正投影之后，将这些投影面旋转展开到一个图面上，使该物体的各正投影图 有规则地配置，并互相之间形成对应关系，这样的正投影图称为多面正投影或 多面正投影图。 §1.2 点的投影 一、点在一个投影面上的投影 如下图所示，过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上 的投影。 点在一个投影面上的投影 点在一个投影面上的投影 如下图所示，由空间点B1作垂直于投影面P的投射线，与平面P交得唯 一的投影b。反之，若已知点B1的投影b，由于在从点b所作的平面P的垂线 上的各点（如B2、B3等）的投影都位于b，如果补充其他条件，就不能确定 点B1的位置。由此可见，点在一个投影面上的投影，不能确定点的空间位置。 由点的一个投影不能确定点的空间位置 所以，为了确定点的空间位置，需要采用多面投影。

授课内容 二、点的两面投影 由于点的一个投影不能确定该点的空间位置，故需建立两投影面体系。 备注 点的两面投影 设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）V和水平投影面（简 称水平面）H，构成两投影面体系。两投影面体系将空间划分为四个分角。本 书只讲述物体在第一分角的投影。V面和H面的交线称为投影轴OX。 过A作垂直于V、H面的投射线Aa′、Aa，分别与H面交于a，与V面交 于a′， a、a′ 即为点A的两面投影。 点的两面投影规律： （1）点的两面投影连线垂直于投影轴，即aa′⊥OX。 （2） 点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即： axa′=Aa；axa=Aa′ 。 空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如 a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a′、b′、c′、…表 示。 三、点的三面投影 1.三投影面体系的建立 两面投影能确定点的空间位置，却不能充分表达立体的形状，所以需采用 三面投影图。再设立一个与V、H面都垂直的侧立投影面（简称侧面）W，形成 三投影面体系。它的三条投影轴OX、OY、OZ必定互相垂直。如下图所示。 点的三面投影

授课内容 2.点的三面投影 如下图所示，由空间点A分别作垂直于H、V、W面的投射线，其交点a、a′、a〃即为点A的三面投影。 备注 空间点的W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a〃、b〃、…等, 投影面展开时，W面绕OZ轴向右旋转90°和V面展成一个平面，得到三面投影图。OY轴在H、W面上分别表示为OYH、OYW。同样，不必画出投影面的边框。 3.点的三面投影规律 在三投影面体系中，Aaaxa′az a〃ayO构成一长方体，由于点在两投影面体系中的投影规律在三投影面体系中仍然适用，由此可得出如下关系：aa′⊥OX、a′a〃⊥OZ、aaYH⊥OYH、a〃aYW⊥OYW、aaX= a〃aZ。 若把三投影面体系看作直角坐标系，则投影轴、投影面、点O分别是坐标轴、坐标面和原点。则可得出点A（x，y，z）的投影与其坐标的关系： x=aZa′=aaYH=点A到W面的距离A a〃； y=aaX=aZ a〃=点A到V面的距离A a′； z= aXa′= a〃aYW=点A到H面的距离Aa。 由此可得出点的三面投影规律: （1）点的投影连线垂直于相应的投影轴，即aa′⊥OX、a′a〃⊥OZ。 （2）点的投影到投影轴的距离，等于该点的某一坐标值，也就是该点到相应投影面的距离。 四、两点的相对位置 1.两点的相对位置 空间两点的投影不仅反映了各点对投影面的位置，也反映了两点之间左右、前后、上下的相对位置。由图可以看出，xB>xA，故点B在点A之左，同理，点B在点A之后（yA>yB）、之下（zB﹤zA）。因此，也可用两点的坐标差来确定点的位置。

授课内容 备注 2．重影点 如图所示，点A位于点B的正上方，即xA=xB，yA=yB，zA>zB，A、B两点在同一条H面的投射线上，故它们的水平投影重合于一点a（b），则称点A、B为对H面的重影点。同理，位于同一条V面投射线上的两点称为对V面的重影点；位于同一条W面投射线上的两点称为对W面的重影点。 两点重影，必有一点被“遮盖”，故有可见与不可见之分。因为点A在点B之上（zA>zB），它们在H面上重影时，点A投影a为可见，点B投影b为不可见，并用括号将b括起来，以示区别。同理，如两点在V面上重影，则y坐标值大的点其投影为可见点；在W面上重影，则x坐标值大的点其投影为可见点。 §1.3 直线的投影 一、直线的投影特性 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。 （一）直线对一个投影面的投影特性 空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。 1．真实性 当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长，这种投影性质称为真实性，如下图所示。

授课内容 备注 2．积聚性 当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点，这种投影性质称为积聚性，如下图所示。 3．收缩性 当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长，这种投影性质称为做收缩性，如下图所示。 （二） 直线在三个投影面中的投影特性 根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。它们具有不同的投影特性，下面分述如下： 1. 投影面平行线 平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。 直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。 投影面平行线的立体图、投影图及投影特征 （注：清晰版见后附表1） 名称 正平线（//V） 水平线（//H） 侧平

授课内容 实 例 备注 立 体 图 投 影 图 投 影 特 性 （1） 正面投影a′b′反映实长。 （2） 正面投影a′b′与OX轴和 OZ轴的夹角α、γ分别为AB对H面和W面的倾角。 （3）水平投影轴ab∥OX轴，侧面投影a″b″∥OZ轴，且都小于实长。 （1） 水平投影ef反映实长。 （2） 水平投影ef 与OX轴和 OYH的夹角β、γ分别为EF对V面和W面的倾角。 （3） 面投影e′f′∥OX轴，侧面投 影e″f″∥OYW，且都小于实长。 （1） 侧面投影i//j//反映实长。 （2）侧面投影i″j″与OZ轴和OYW轴的夹角β和α分别为EF对V面和H面的倾角。 （3）正面投影i′j′∥OZ轴，水平投影ij∥OYH，且都小于实长。 2. 投影面垂直线

授课内容 垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线； 投影面垂直线的立体图、投影图及投影特征 （注：清晰版见后附表2） 名称 正垂线（⊥V） 铅垂线（⊥H） 侧垂线备注 实 例 立 体 图 投 影 图 投 影 （1）正面投影b′(c′)积聚成一点。 （2）水平投影bc，侧面投影（1）水平投影b(g)积聚成一点。 （1）侧面投影点。 （2）正面投影b′g′，侧面投影b″g″都反映实长，且b′g′⊥（2） 正面投

授课内容 特 性 b″c″都反映实长，且bc⊥OX， OX， b″g″⊥OYW。 b″c″⊥OZ。 备注 影ek都反映实长，且e′ k′⊥OZ， ek⊥OYH。 3. 一般位置直线 与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。 如图所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图所示。 一般位置直线的投影特征可归纳为： 1．直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角； 2．任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。 对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。 二、直线与点的相对位置 判别方法： 如图所示，若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即： AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?（定比定理） 若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。 三、两直线的相对位置 两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。 （一） 两直线平行

授课内容 若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。由于AB∥CD，则必定ab∥cd、 a′ b′∥c′ d′、a″b″∥c″d″。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。 在投影图上判定两直线是否平行；若两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定；但当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、 a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。 备注 （二）两直线相交 若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图所示，两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点 k、 k′、k″必定是空间交点K的投影。反之，若两直线的各同面投影相交，且各组同面投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间也必定相交。 在投影图上判定两直线是否相交：若两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定；但当两直线 中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。两直 线AB、CD两组同面投影ab与cd、a′ b′与c′d′虽然相交，但经过分析判断，可判定两直线在空间不相交。 （三）两直线交叉 两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。

授课内容 若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之亦然。如图（a）所示。 空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。在图（b）中，判断AB和CD的正面重影点k′（l′）的可见性时，由于K、L两点的水平投影k比l的y坐标值大，所以当从前往后看时，点K可见，点L不可见，由此可判定AB在CD的前方。同理，从上往下看时，点M可见，点N不可见，可判定CD在AB的上方。 备注 （a） （b） 四、一边平行于投影面的直角的投影 当空间两直线成直角（相交或交叉）时： （1）若两边都与某投影面倾斜，则在该面上的投影不是直角。 （2）若两边都与某投影面平行，则在该面上的投影反映直角。 （3）若一边平行于某投影面，则在该面上的投影仍是直角。 §1.4 平面的投影 一、平面的表示法

授课内容 1．不在同一直线上的三点 2．一直线和直线外一点 3．相交两直线 4．平行两直线 5．任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等 备注 二、平面的投影特性 （一） 平面对一个投影面的投影特性 1.真实性 平面平行投影面-----投影就把实形现 2.积聚性 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 3.类似性 平面倾斜投影面-----投影类似原平面 （二） 平面在三投影面体系中的投影特性 根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。

授课内容 它们具有不同的投影特性，下面分述如下： 1.投影面垂直面 垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于V面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。 备注 投影面垂直面的投影特征： （1）在垂直的投影面上的投影，积聚成直线；它与投影轴的夹角，分别反映平面对另两投影面的真实倾角 （2）其他两个投影为平面图形，有类似性，且面积缩小。 2.投影面平行面 平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于V面的称为正平面；平行于H面的称为水平面；平行于W面的称为侧平面；

授课内容 备注 投影面平行面的投影特征： （1）平面平行于哪个投影面，它在该投影面上的投影反映空间平面的实形。 （2）其他两个投影都积聚为直线，而且与相应的投影轴平行。 对于投影面平行面的辨认：当平面的投影有两个分别积聚为平行于不同投影轴的直线，而另一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个平面。 3.一般位置平面 与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。 例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图所示。 一般位置平面的投影特征可归纳为：三个投影都是平面图形，且面积缩小；一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。 对于一般位置平面的辨认：如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。

授课内容 三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平面 平面主要用几何元素表示，也可以用迹线表示，迹线是平面与投影面的交线。 备注 四、平面上的直线和点 （一）平面上取任意直线 判断直线在平面内的方法： 1. 定理一： 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 2. 定理二： 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。 （二）平面上取点 平面上取点方法：先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 五、圆的投影

授课内容 备注 §1.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置 一、在特殊情况下图示与图解直线与平面以及平面与平面的相对位置 可以有以下几种相对位置： 1. 平行 （1）直线与平面平行 （2）平面与平面平行 2. 相交 （1）直线与平面相交 （2）平面与平面相交 （其中垂直是相交的特例） （一） 相交 直线与平面的交点是线面的共有点，两平面的交线是两面的共有直线。

授课内容 备注 （二） 平行 （三） 垂直

附表1

投影面平行线的立体图、投影图及投影特征

名称 正平线（//V） 水平线（//H） 侧平线（//W） 实 例 立 体 图 投 影 图 投 影 特 性 （1） 正面投影a′b′反映实长。 （2） 正面投影a′b′与OX轴和 OZ轴的夹角α、γ分别为AB对H面和W面的倾角。 （3）水平投影轴ab∥OX轴，侧面投影a″b″∥OZ轴，且都小于实长。 （1） 水平投影ef反映实长。 （2） 水平投影ef 与OX轴和 OYH的夹角β、γ分别为EF对V面和W面的倾角。 （3） 面投影e′f′∥OX轴，侧面投 影e″f″∥OYW，且都小于实长。 （1） 侧面投影i//j//反映实长。 （2）侧面投影i″j″与OZ轴和OYW轴的夹角β和α分别为EF对V面和H面的倾角。 （3）正面投影i′j′∥OZ轴，水平投影ij∥OYH，且都小于实长。

附表2

投影面垂直线的立体图、投影图及投影特征 名称 正垂线（⊥V） 铅垂线（⊥H） 侧垂线（⊥W） 实 例 立 体 图 投 影 图 投 影 特 性 （1）正面投影b′(c′)积聚成一点。 （2）水平投影bc，侧面投影b″c″⊥OZ。 （1）水平投影b(g)积聚成一点。 （1）侧面投影e″(k″)积聚成一点。 （2）正面投影b′g′，侧面投影b″g″都反映实长，且b′g′⊥（2） 正面投影e′ k′，水平投影ek都反映实长，且e′ k′⊥OZ， ek⊥OYH。 b″c″都反映实长，且bc⊥OX， OX， b″g″⊥OYW。