高中数学选修2-3课时作业20：§2.4正态分布

人教版高中数学选修2-3

§2.4 正态分布

A 基础达标

1．设两个正态分布N(μ1，σ2σ2则有( ) 1)(σ1＞0)和N(μ2，2)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，

A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2

B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2

2．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为( ) A．1 C．2

B．3 D．4

3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 7，则P(X>4)＝( ) A．0.158 8 C．0.158 6

B．0.158 65 D．0.158 5

4．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.27%，95.45%和99.73%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90，152)，则此次考试成绩在区间(60，120)内的学生大约有( ) A．997人 C．954人

B．972人 D．683人

15．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则

2μ等于( ) A．1 C．4

B．2 D．不能确定

6．在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中．测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，

1

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若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0，1)内的取值的概率为________． 7．设随机变量X～N(4，σ2)，且P(4＜X＜8)＝0.3，则P(X＜0)＝________．

8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．

9．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72

10．已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其密度函数图象如图所示．

(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式；

(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比．

2

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B 能力提升

11．已知随机变量X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，且P(μ－σ6)≈( ) A．0.341 3 C．0.158 7

B．0.317 4 D．0.158 6

－（x－2）21212．已知随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝e的2π1

图象，若?2f(x)dx＝，则P(X>4)＝( )

3?

0

1

A. 61C. 3

1B．

41D．

2

13．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(3，22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？

14．(选做题)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X服从正态分布N(800，502)．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0. (1)求p0的值；

(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

3

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——★ 参 考 答 案 ★——

A 基础达标

1．[[答案]]A 2．[[答案]]A

[[解析]]因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5， 可知a＝1. 3．[[答案]]B

[[解析]]由于X服从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x＝3. 所以P(X>4)＝P(X<2)，

1－P（2≤X≤4）1－0.682 7

故P(X>4)＝＝

22＝0.158 65. 4．[[答案]]C

[[解析]]依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(60

1

[[解析]]因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝

211

＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4. 226．[[答案]]0.4

[[解析]]正态分布曲线关于μ＝1对称，ξ在(0，1)与(1，2)内取值的概率相等，为0.4. 7．[[答案]]0.2

4

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[[解析]]概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2. 8．[[答案]]229

1

[[解析]]依题意，P(60－2080)≈(1－0.954 5)≈0.022 8，

2

故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．

9．解：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P(72

11又因为P(X≤64)＝P(X>96)，所以P(X≤64)＝(1－0.954 5)＝×0.045 5＝0.022 75.

22所以P(X>64)＝0.977 25.

11

又P(X≤72)＝[1－P(7272)＝0.841 35，

22P(6464)－P(X>72)＝0.135 9. 10．解：设此地农民工年均收入为X～N(μ，σ2)， 结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.

(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为

（x－μ）2（x－8 000）21－1－2σ2＝2×5002φμ，σ(x)＝ee，x∈(－∞，＋∞)．

2πσ5002π(2)因为P(7 500

所以P(8 000

2

即此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.14%.

B 能力提升

11．[[答案]]C

11

[[解析]]由题设P(4

22(1－0.682 7)≈0.158 7. 12．[[答案]]A

－（x－2）212[[解析]]因为随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝e2π1

的图象，所以μ＝2，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为?2f(x)dx＝，所以P(0

3?

0

5