高考复习专题：简单的线性规划
专题要点
简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。
线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。
考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。 考纲要求
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。 典例精析
线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。 考点1：求给定可行域的最优解
?x?y?1例1.（2012广东文）已知变量x、y满足约束条件??x?y?1,则z?x?2y的最小
?x?1?0?值为
A．3 B．1 C．?5 D．?6 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A时,取到最小值.
联立??x??1?x??1,解得?,所以z?x?2y的最小值为?5. y?x?1y??2??（ ）
?x?y?3?例2.（2009天津）设变量x，y满足约束条件：?x?y??1.
?2x?y?3?则目标函数z=2x+3y的最小值为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
?x?y?3?解析：画出不等式?x?y??1表示的可行域，如右图，
?2x?y?3?让目标函数表示直线y??最小值，解方程组?2xz知在点B自目标函数取到?在可行域上平移，
33?x?y?3得(2,1)，所以zmin?4?3?7，故选择B.
?2x?y?3yy发散思维：若将目标函数改为求z?的取值范围；或者改为求z?的取值
xx?3范围；
或者改为求z?x2?y2的最大值；或者或者改为求z??x?1?2?y2的最
大值。
方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。
?2x?y?2?0?练习1.（2012天津）设变量x,y满足约束条件?x?2y?4?0,则目标函数
?x?1?0?z?3x?2y的最小值为
（ ）
C．?2
D．3
32z2A．?5 B．?4
【解析】做出不等式对应的可行域如图,由z?3x?2y得y?x?,由图象可知当
直线y?x?经过点C(0,2)时,直线y?x?的截距最大,而此时
3z3222z?3x?2y最小为z?3x?2y??4,选B.
z20≤x≤1，??
练习2．在约束条件?0≤y≤2，
??2y－x≥1，
下，?x－1?2＋y2的最小值为________．
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到?x－1?2＋y2可视为该区域内的点(x，y)与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y－x＝1的距离，即为25
5
|－1－1|
5
＝
25
. 答案 5
练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为
，则z=
?
的最大值为（ ）
A、3 B、4 C、3 D、4 解答：解：首先做出可行域，如图所示： z=?=，即y=﹣x+z 做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值． 因为A（，2），所以z的最大值为4故选B
练习4.（2011福建）已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区x＋y≥2，??
域?x≤1，??y≤2
上的一个动点，则→OA·→OM的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] x＋y≥2，??【分析】 由于→OA·→OM＝－x＋y，实际上就是在线性约束条件?x≤1，
??y≤2求线性目标函数z＝－x＋y的最大值和最小值．
【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图)，又→OA·→OM＝－x＋y，取目
标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线．
当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.
∴z的取值范围是[0,2]，即→OA·→OM的取值范围是[0,2]，故选C. 考点2：求给定可行域的面积
?x?0?例3．在平面直角坐标系中，不等式组?x?3y?4表示的平面区域的面积为（ ）
?3x?y?4?
下，
A．D．
34324 B． C． 233答案c
考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数
?x?y?2≥0,?例4．(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组?x?y?2≥0,表示的
?x≤t?
专题：简单的线性规划含答案
