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幂指对函数复习专题讲座
一．幂函数
1.定义形如y?x?的函数叫幂函数，其中?为常数，在中学阶段只研究?为有理数的情形.
2.幂函数y?xn(n?Q,n?qp,p,q互质）的性质如表1-1.
q3.根据幂函数在第一象限图像的特点分析幂函数y?xp的性质.
y q p?1 qp?1 1?q p?01 qp?0
（1）图O 像必过1 (1,1)点. x（2）
qp?1时，过(0,0)点，且随x的增大，函数图像向y轴方向延伸.
在第一象限是增函数.
（3） qp?1时，图像是直线y=x。在第一象限是增函数.（在整个定义域都是增函数.）
（4）1?qp?0时,随x的增大，函数图像向x轴方向延伸.在第一象限是增函数.
（5）qp?0时，随x的增大，函数图像与x轴、y轴无限接近，但永不相交。在第一象
限是减函数.
二．指数函数和对数函数
1.幂的有关概念：
(1)规定：① an?a?a???a(n?N*);② a0?1(a?0); n个 m③a?p?1a）;④an?nam(a?0,m、n?N*
p(p?Q 且n?1) (2)指数运算性质： r①ar?as?ar?s(a?0,r、s?Q）;②aas?ar?s(a?0,r,s?Q)；
③(ar)s?ar?s(a?0,r、s? Q）;④(a?b)r?ar?br(a?0,b?0,r? Q）;
s⑤??a?as?b???bs(a?0,b?0,s?Q).（注）上述性质对r、s?R均适用.
2．对数的概念：
(1)定义：如果a(a?0,且a?1)的b次幂等于N，就是ab?N，那么数b称以a为底N的对数，记作logaN?b,其中a称对数的底，N称真数.
①以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN，
②以无理数e(e?2.71828?)为底的对数称自然对数，logeN记作lnN (2)基本性质：
①真数N为正数（负数和零无对数）; ② loga1?0; ③logaa?1;④对数恒等式：alogaN?N.
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(3)运算性质：如果a?0,a?0,M?0,N?0,则
①logMa(MN)?logaM?logaN;②logaN?logaM?logaN; ③logMn?nlogn1aaM;④logaa?n; ⑤loganN?nlogaN
⑥换底公式：loglogmNaN?log(a?0,a?0,m?0,m?1,N?0), ma⑦logab?logba?1，⑧ logamNn?nmlogaN 3.指数函数
（1）指数函数的定义
一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象
yy=ax ( a > 1 ）y=ax y(0＜a＜1)11Ox O
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
（3）指数函数的性质 ①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x=0时，y=1.
④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数. 4. 对数函数
（1）对数函数的定义
函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象
yyy=log a x( a > 1)1 O1x O底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. y=log a x（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）.
②值域：R. ③过点（1，0），即当x=1时，y=0.
④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.
5.指数函数y=ax
(a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2．
(注)指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数． 6.抽象函数
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数： （1） 一次函数型抽象函数 f(x)?ax?b?f(x?y)?f(x)?f(y)?b;f(x?yf(x)?f(y)2)?2
（2）指数函数型抽象函数 f(x)?ax?f(x?y)?f(x)f(y);f(x?y)?f(x)f(y)
（3）对数函数型抽象函数
x
x ( （5）三角函数型抽象函数 f(x)?tanx?f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y) f(x)?cosx?f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y) 三．典型例题 【例1】 图中曲线是幂函数y?xn在第一象限的图象，已知n取±2、±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（ ） y C1 C2 C3 1 C4 o 1 x （A） -2，-12，12，2. （B） 2, 12, -12,-2. （C） -112,-2, 2, 2. （D） 2, 112, -2，-2. 【例2】 在下列图形中找出所给函数的大致图象 32（1）y?x2 ；（2）y?1 ；（3）y?x3 ；（4）y?x?2x ；（5） y = x1/2 ； （6） y = x1/3 ；（7） y = x4/3 ； （8） y = x –1/2 ； （9） y = x5/3 . y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） 【例3】解答下述问题： （1）计算： 2211[(33)?3(54)0.5?(0.008)?3?(0.02)?2?(0.32)2]?0.06250.2589 [解析]原式=[(8249110002127)3?(9)2?(8)3?50?4210]?(62510000)4 实用文档 ?[49?73?25?152?4210]?12?(?179?2)?2?29 lg5?lg8000?(lg23)2（2）计算lg600?12lg0.036?1. 2lg0.1[解析]分子=lg5(3?3lg2)?3(lg2)2?3lg5?3lg2(lg5?lg2)?3； 分母=(lg6?2)?lg361000?110?lg6?2?lg6100?4； ?原式= 34. 413（3）化简： a3?8a3b22?(a?23?2b4b3?23ab?a3a)?a?3a2. 5a?3a1111121[解析]原式= a3[(a3)3?(2b3)3]a?2b1111?3332(a3)2?a3?(2b3)?(2b3)2a?(a?a)111 (a2?a3)551112?a613(a3?2b3)?a3311?a1?a?a?a?a2. a3?2b3a6（4）已知：log189?a,18b?5,求log3036值. [解析]?18b?5,?log185?b, ?log3036?log1818?log1821?(log1818log??log189)?2(2?a). 185?log186b?(log1818?log183)2?2b?a4】已知函数y?log2a(x?mx?1)(af0,a?1). (1)若定义域为R，求m的取值围；(2)若值域为R，求m的取值围. 解：（1）由题意知，x2?mx?1f0对任意实数x恒成立 所以 ??m2?4p0 解得：?2pmp2 （1） 设v?x2?mx?1，则y?logav ?函数y的值域是(??,??)，???m2?4?0，解得： m?2或m??2 【例5】 函数y?a|x|(af1)的图象是（ ） ?ax(x?0)解：方法1；由题设知：y???1?a)x(xp0)，又a＞1，由指数函数的图象知答案为B ?(方法2：因 y?a|x| 是偶函数，又a＞1，所以a|x|?1，排除A、C。当x?0时，y?ax，由指数函数的图象知答案为B. 【例6】若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）. （1）求f（log2x）的最小值及对应的x值； （2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）. 解：（1）∵f（x）=x2－x+b， ∴f（log2 2a）=log2a－log2a+b. 由已知有log22a－log2a+b=b， ∴（log2a－1）log2a=0. ∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2. 又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4. ∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2. 故f（x）=x2－x+2，从而f（log122x）=log22x－log2x+2=（log2x－）+724. ∴当log172x=2即x=2时，f（log2x）有最小值4. （2）由题意??2?log2x?log2x?2?2?x?2??或0?x?1?0＜x＜1. ?logx2?x?2)?2 ?2(??1?x?2 【例
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