多维层次练29
[A级 基础巩固]
1．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 C．4
B．2 D．8
解析：法一 设等差数列{an}的公差为d，
??a1＋3d＋a1＋4d＝24，依题意?解得d＝4. 6×5
??6a1＋2d＝48，
（a1＋a6）×6法二 等差数列{an}中，S6＝＝48，
2则a1＋a6＝16＝a2＋a5，
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8， 所以d＝4，故选C. 答案：C
2．(2020·安阳联考)在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2
－a5＝( )
A．60 C．12
B．56 D．4
解析：因为在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，所以a2＋a8＝2a5＝8，解得a5＝4，(a3＋a7)2－a5＝(2a5)2－a5＝64－4＝60.
答案：A
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3，S3＝6，则S2n＋1＝( )
A．(2n＋1)(n＋1) C．(2n－1)(n＋1)
B．(2n＋1)(n－1) D．(2n＋1)(n＋2)
解析：设等差数列{an}的公差为d， 则2a1＋d＝3，3a1＋3d＝6，
所以a1＝d＝1，则an＝1＋(n－1)×1＝n.
（2n＋1）（1＋2n＋1）
因此S2n＋1＝＝(2n＋1)(n＋1)．
2答案：A
4．(2020·宜昌一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则( )
A．a7＝0 C．|a7|>|a8|
B．|a7|＝|a8| D．|a7|<|a8|
解析：因为公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0， 所以S9>S8，所以S8 所以a6＋a7＋a8<0，a6＋a7＋a8＋a9>0， 所以a7<0，a7＋a8>0，|a7|<|a8|. 答案：D 5．中国古诗词中，有一道“八子分棉”的数学名题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤棉分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分棉，年龄小的比年龄大的多17斤棉，那么第8个儿子分到的棉是 ( ) A．174斤 C．191斤 B．184斤 D．201斤 解析：用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的棉数， 由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， 8×7 所以8a1＋×17＝996， 2解得a1＝65. 所以a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的棉是184斤． 答案：B 6．(2019·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________． 解析：设数列{an}的公差为d， ??（a1＋d）（a1＋4d）＋a1＋7d＝0，则? 9×8??9a1＋2d＝27， 解得a1＝－5，d＝2， 8×7所以S8＝8×(－5)＋×2＝16. 2答案：16 7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则 S100＝________． 解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S10010×98 －S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋ 9210×98 d＝10×16＋×＝200. 29 答案：200 π 8．在等差数列{an}中，若a7＝，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos 2a13＝________． 解析：根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π， 2a1＋2a13＝4a7＝2π， 所以有sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝ sin 2a1＋sin(2π－2a1)＋cos a1＋cos(π－a1)＝0. 答案：0 an＋1（an＋an＋2） 9．各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an，且a3 21 ＝2a8＝. 5 ?1? (1)证明：数列?a?是等差数列，并求数列{an}的通项公式； ?n? an (2)若数列{bn}的通项公式为bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 2n＋6(1)证明：依题意得，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以 ?1?12 anan＋1an＋2，可得＋＝，故数列?a?是等差数列． a?n?nan＋2an＋1 1 ?1? 设数列?a?的公差为d. ?n? 111 因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10， 5a3a811 所以－＝5＝5d，即d＝1， a8a3 11 故＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2， ana31 故an＝. n＋2 111an (2)解：由(1)可知bn＝＝·＝ 222n＋6（n＋2）（n＋3） ?11? ??－?n＋2n＋3?， ?? 111111?1?n?－＋－＋…＋?－故Sn＝?3445＝. n＋2n＋3?2??6（n＋3） 10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； Sn (2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并 n求其前n项和Tn. (1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第2节 等差数列及其前n项和
