【优化方案】2012高中数学 第3章3.2.1知能优化训练 新人教A版选修2-1

1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝( )

A．1 B．－2 C．－3 D．3 解析：选D.l1⊥l2?a⊥b?2×2＋1×2＋(－2)×m＝0. ∴m＝3.

2．若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与平面β的关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 解析：选A.∵a＝－b，∴a∥b.∴α∥β.

3．平面α，β的法向量分别为m＝(1,2，－2)，n＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于________．

解析：由α⊥β知，m·n＝0. ∴－2－8－2k＝0解得k＝－5. 答案：－5

1

4．已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB2

上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． 证明：CM⊥SN.

证明：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．

111

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，，0)．

222

1→

CM＝(1，－1，)，

211→

SN＝(－，－，0)，

22

11→→

因为CM·SN＝－＋＋0＝0，

22

所以CM⊥SN.

一、选择题

1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( ) A．l∥α B．l?α C．l⊥α D．l?α或(l∥α) 解析：选D.因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.

2．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )

10A．－ B．6

3

10

C．－6 D. 3

解析：选B.∵α∥β，

∴α的法向量与β的法向量也互相平行． 23－1

∴＝＝.∴λ＝6. 4λ－2

→

3．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) →→→→A.PA·AB＝0 B.PC·BD＝0 →→→→C.PC·AB＝0 D.PA·CD＝0 解析：选C.∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.

又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．故选C. 4．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( ) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1

222解析：选A.|a|＝ 2＋4＋x＝6，∴x＝±4， 又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，

1

∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，

2

当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.

5．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )

A．(1，－1,1) C．(－2,1,1)

解析：选C.显然a与b不平行，

B．(2，－1,1) D．(－1,1，－1)

??a·n＝0，

设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则?

??b·n＝0，??2x＋3y＋z＝0，

∴?

?5x＋6y＋4z＝0.?

令z＝1，得x＝－2，y＝1，

∴n＝(－2,1,1)．

6．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则( ) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对

→→

解析：选A.AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)， →

n·AB＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， →

n·AC＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，

→→∴n⊥AB，n⊥AC.

∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β. 二、填空题

→→→

7．若AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．

→→→→→→

解析：∵AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则AB与CD、CE共面． ∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE. 答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE

→

8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，则AE与平面A1D1F的关系为________．

解析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，

11

则A(1,0,0)，E(1,1，)，D1(0,0,1)，F(0，，0)，A1(1,0,1)．

22

1→1→→

AE＝(0,1，).D1F＝(0，，－1)，A1D1＝(－1,0,0)．

22

1111→→

∴AE·D1F＝(0,1，)·(0，，－1)＝－＝0，

2222

→→

AE·A1D1＝0， →→→→

∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1.又A1D1∩D1F＝D1， →→

∴AE⊥平面A1D1F，∴AE是平面A1D1F的法向量．

→

答案：AE⊥平面A1D1F 9．下列命题中：

①若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v?α∥β； ②若u，v分别是平面α，β的法向量，则α∥β?u·v＝0； ③若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．

其中正确的命题序号是________．

解析：①中，α，β有可能重合；②正确； ③中，∵u⊥α，a∥α，

∴u⊥a.∴u·a＝0，③正确；④正确． 答案：②③④ 三、解答题

10．如图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.

证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)， O1(0,0,2)，A1(3,0,2)， B1(0,4,2)，E(3,4,0) ∵AP＝2PA1，

4→→2→→2

∴AP＝2PA1＝AA1，即AP＝(0,0,2)＝(0,0，)，

333

4

∴P点坐标为(3,0，)．

3

2

同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4，)．

3

2→→→→

∴PQ＝(－3,2，)＝RS，∴PQ∥RS，

3

又∵R?PQ，∴PQ∥RS.

11．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．

解：设点M(x，y，z)，由图可知，A(a,0,0)，B(a，a,0)，

→→→

C1(0，a，a)，则AC1＝(－a，a，a)，AM＝(x－a，y，z)，BM＝(x－a，y－a，z)，

→→

因为BM⊥AC1，所以BM·AC1＝0， 即－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0， ∴x－y－z＝0.①

→→→→

又因为AC1∥AM，所以AM＝λAC1(λ∈R)， 即x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa， ∴x＝a－λa，y＝λa，z＝λa，②

2aa由①②得x＝a，y＝，z＝，

333?211?所以M?a，a，a?. ?333?

12．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.证明： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD.

证明：建立如图所示的空间直角坐标系．D是坐标原点，设DC＝a.

(1)连结AC交BD于G，连结EG，依题意得D(0，0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．

22

因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，

aaa→a故点G的坐标为(，，0)，所以EG＝(，0，－)．

2222

→→→

又PA＝(a,0，－a)，所以PA＝2EG，这表明PA∥EG. 而EG?平面EDB，且PA?平面EDB， 所以PA∥平面EDB.

aaa2a2→→→→

(2)依题意得B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)，DE＝(0，，)，所以PB·DE＝0＋－＝0，

aa所以PB⊥DE.

又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD.

2222