导数与函数零点问题
函数零点问题是高考中的热点,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.
例题精讲
一、函数零点个数问题
用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 【例1】若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________．
【对点训练】【天津市河北区2019届高三一模】已知函数f(x)?alnx?x?(2a?1)x,其中a?R. （1）当a=1时,求函数f?x?的单调区间： （2）求函数f?x?的极值；
（3）若函数f?x?有两个不同的零点,求a的取值范围.
2二、零点存在性赋值理论
确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m ? a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点．赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；（2） 确保赋值点 x0
落在规定区间内；（3）确保运算可行（1）确保参数能取到它的一切值；（2）确保赋值点 x0 落在规定区间内；（3）确保运算可行．三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.
【例2】【天津市部分区2019届高三联考一模】设函数（1）求f(x)的单调区间；
（2）当a?1时,试判断f(x)零点的个数；
f(x)?ax?2?lnx(a?R).
（3）当a?1时,若对?x?(1,??),都有(4k?1?lnx)x?
f(x)?1?0（k?Z）成立,求k的最大值.
【对点训练】已知函数f(x)?sinx?ln(1?x),f?(x)为f(x)的导数．证明： （1）f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点．
【对点训练】【湖南省衡阳市2019届高三三模】已知函数f(x)?e(ax?x?a)存在极大值与极小值,且在x??1处取得极小值. （1）求实数a的值；
（2）若函数g(x)?f(x)?2x?m有两个零点,求实数m的取值范围.
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三、隐零点问题
利用导数求函数的最值,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为x0,再利用导函数的单调性确定x0所在区间,最后根据f??x0??0,研究f?x0?,我们把这类问题称为隐零点问题.
【例3】【广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟】已知f(x)?（1）设x?12x?aex?lnx． 21是f?x?的极值点,求实数a的值,并求f?x?的单调区间： 21（2）a?0时,求证：f?x??．
2
【对点训练】【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数
f?x??x?lnx?a??b,曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线为2x?y?1?0.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的x??1,???,f?x??m?x?1?恒成立,求正整数m的最大值.
课后训练
1．【天津市红桥区2019届高三一模】已知函数f?x??lne?k（k为常数）是实数集R上的奇函数,其
x??中e为自然对数的底数. （1）求k的值；
lnx?x2?2ex?m的根的个数. （2）讨论关于x的方程如
f?x?
22．【广东省2019届高三适应性考试】已知函数f(x)?lnx?x?3ax?1.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a??1时,讨论函数f(x)的零点个数.
ee为自然对3．【湖南省雅礼中学2019届高考模拟卷（二)】已知函数f?x???x?ax?，g?x??e?（3x14数的底数）．
（1）若曲线y?f?x?在点0,f?0?（处的切线与曲线y?g?x?在点0,g?0?处的切线互相垂直,求函数
????f?x???x3?ax?1在区间??1,1?上的最大值； 4
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