定积分的应用
定积分的应用
1.曲边梯形的面积
在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.
所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线x?a,x?b,y?0及曲线
y?f(x)所围成的图形，如图(a),(b),(c)都是曲边梯形.
y y y b a o x (c) a o b x (a
a o b x (b现在求f(x)?0时，在连续区间[a,b]上围成的曲边梯形的面积A（如图(a),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：
(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形
在区间[a,b]内任意插入n?1个分点：a?x0?x1?x2?????xn?1?xn?b，把区间[a,b]分成n个小区间：[x0,x1],[x1,x2],?[xi?1,xi],?,[xn?1,xn]，第i个小区间的长度为?xi?xi?xi?1(i?1,???,n)，过每个分点作垂直于x轴的直线段，它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为?Ai(i?1,2,???n).
y 应化1704 1712024422 崔立志 ?i a?x0x1x2 o xi?1xixn?1xn?b x 定积分的应用
(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积
在小区间[xi?1,xi]上任取一点?i(i?1,2,???,n)，作以[xi?1,xi]为底，f(?i)为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则
?Ai?f(?i)?xi(i?1,2,???,n).
(3)求和——求n个小矩形面积之和
n个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A，即
A??A1??A2??????An?f(?1)?x1?f(?2)?x2?????f(?n)?xn
??f(?i)?xi.
i?1n(4)取极限
令??max??xi?，当分点n无限增多且??0时，和式?f(?i)?xi的极限便
1?i?nni?1是曲边梯形的面积A，即
A?lim?f(?i)?xi.
??0i?1n2．变速直线运动的路程
设一物体作变速直线运动，其速度是时间t的连续函数v?v(t)，求物体在时刻t?T1到t?T2间所经过的路程S.
我们知道，匀速直线运动的路程公式是：S?vt，现设物体运动的速度v是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：
(1)分割——把整个运动时间分成n个时间段
在时间间隔[T1,T2]内任意插入n?1个分点：T1?t0?t1?????tn?1?tn?T2，把[T1,T2]分成n个小区间：[t0,t1],[t1,t2],???[ti?1,ti],???,[tn?1,tn]，第i个小区间的长度
应化1704 1712024422 崔立志
定积分的应用
为?ti?ti?ti?1(i?1,2,???n),第i个时间段内对应的路程记作?Si(i?1,2,???n).
(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间[ti?1,ti]上任取一点?i(i?1,2,???n),用速度v(?i)近似代替物体在时间[ti?1,ti]上各个时刻的速度，则有
?Si?v(?i)?ti(i?1,2,???,n).
(3)求和——求n个小时间段路程之和
将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即
S??S1??S2??????Sn?v(?1)?t1?v(?2)?t2?????v(?i)?tn
??v(?i)?ti.
i?1n(4)取极限
令??max??ti?，当分点的个数n无限增多且??0时，和式?v(?i)?ti的极
1?i?nni?1限便是所求的路程S.即
S?lim?v(?i)?ti
??0i?1n 从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.
3积分的几何意义
应化1704 1712024422 崔立志
定积分的应用
