第四讲 数轴——数与形的第一次碰撞
为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型．数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象．
数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来．
数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想． 利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：
1．运用数轴直观地表示有理数； 2．运用数轴形象地解释相反数；
3．运用数轴准确地比较有理数的大小；
4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题． 例题
【例1】(1)数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是一2，且A、B两点的距离为3，那么点D对应的数是 ． (江苏省竞赛题) (2)在数轴上，点A、B分别表示?11和，则线段AB的中点所表示的数35是 ． (江苏省竞赛题)
思路点拨 (1)确定B点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系．
【例2】 如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数最接近的整数是( ) ．
思路点拨 利用数轴提供的信息，求出AF的长度．
1的大小． a 思路点拨 因为a表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在
11数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由a?、无意
aa义得出a?1，?1，0，据此3个数把数轴分为6个部分．
【例3】比较a与
【例4】（1）阅读下面材料并回答问题．
28． (1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为 ｜AB｜．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点 A在原点，如图1，｜AB｜＝｜OB｜＝｜b｜=｜a－b｜
当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边｜AB｜＝｜OB｜－｜OA｜＝｜b｜－|a|= b－ a=|a －
b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，｜AB｜＝｜OB｜－｜OA｜＝｜b｜－|a|= b－ a=|a － b|；③如图4，点A、B在原点的两边，｜AB｜＝｜OB｜－｜OA｜＝｜b｜－|a|=－ b－ (－a)=|a － b|；
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a－b|．
(2)回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ,如果｜AB｜＝2用么x为； ③当代数式｜x+1｜十｜x－2｜取最小值时，相应的x的取值范围是 ． (2002年南京市中考题)
注： 有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求． 从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括： (1)数轴上堵塞点所表示的数是正负性； (2)数轴上的点到原点的距离．
(1)字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围内赋予宇母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”，但这种方法不能作为解题的规范过程．
(2)纯粹的代数的方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚至简单化．
(2)试求｜x-1｜十｜x－2｜+｜x－3｜+…｜x－1997｜的最小值． (天津市竞赛题)
思路点拨 对于(1)，阅读理解从数轴上看，a?b的意义；对于(2)由于x的任意性、无限性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝对值的几何意义，利用数轴入手，借助(1)的结论解题．
【例5】 (1)工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?
(2)如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短?
(3)当流水线上有n个工作台时，怎样放置工具箱最适宜?
思路点拨 把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决本例的模型——数轴，将问题转化为例4的形式求解．
学力训练
1．在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则a?3＝ ． 2．a、b、c在数轴上的位置如图所示，则
111、、中最大的是 ． a?bc?ba?c
3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，若m?a?b?b?1?a?c?1?c ，则，则1000m＝ ． ( “希望杯”邀请赛试题)
4．如图，工作流程线上A、B、C、D处各有1名工人，且AB＝BC＝CD＝1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱的安放位置是 ． 5．有理数在数轴上的位置如图，化简a?b?c?b的结果为( )． A．a+c B．-a-2b+c C．a+2b-c D．-a-c
6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d?2a=10，那么数轴的原点应是( )．
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 (第15后江苏省竞赛题) 7．x?1?x?1的最小值是( )．
A．2 B．0 C．1 D．一l
8．数a、b、c、d所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，那么a?c与b?d的大小关系是( )．
A．a?c＜b?d B．a?c=b?d C．a?c＞b?d D．不确定的 (江苏省竞赛题)
9．已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3．求所有满足条件的点B与原点O的距离的和． (北京市“迎春杯”竞赛题)
10．已知两数a、b，如果a比b大，试判断a与b的大小．
11．有理数a、b满足a?0，b?0，a?b，用“<”将a、b、 ?a、?b连接起来 ．12．x?1?x?2?x?3的最小值是 ．
13．已知数轴上表示负有理数m的点是点M，那么在数轴上与点M相距m个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是 ． (山东省竞赛题)
14．若a?0，b?0，则使x?a?x?b?a?b成立的x取值范围是 ． (武汉市选拔赛题)
15．如图，A、B、C、D、E为数轴上的五个点．且AB＝BC=CD=DE，则图中与P 点表示的数比较接近的一个数是（ ）．
A．一l B．1 C 3 D．5
(河南省竞赛题)
16．设y?x?1?x?1，则下面四个结论中正确的是( )． A．y没有最小值 B．只有一个x使y取最小值 C．有限个x(不止一个)y取最小值 D．有无穷多个x使y取最小值
17．不相等的有理数a、b、c在数轴上对应点分别为A、B、C，若a?b?b?c?a?c，那么点B( )．
A．在A、C点右边 B．在A、C点左边 C．在A、C点之间 D．以上均有可能 18．试求x?2?x?4?x?6???x?2000的最小值．
19．电子跳蚤落在数轴上的某点K。，第一步从K。向左跳1个单位到Kl，第二步由Kl向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到，第四步由K3向右跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94，试水电子跳蚤的初始位置Ko点所表示的数．
20．如图，在数轴上（未标出原点及单位长度）点A为线段BC的中点，已知点A、B、C对应的三个数a、b、c之积为负数，这三个数之和与其中一数相等，设p为a、b、c三数中两数的比值，求p的最大值和最小值．
21．某城镇沿环形路上依次排列有五所小学：A1、A2、A3、A4、A5，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各校的电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最 少总台数．
(湖北省荆州市竞赛题)．
参考答案
七数培优竞赛讲座数轴 - 数与形的第一次碰撞
