专题48 中考数学数形结合思想
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。 1.数形结合思想的含义
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 2.数形结合思想应用常见的四种类型
（1）实数与数轴。实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
（3）在函数中的应用。借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
（4）在几何中的应用。对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。 3.数形结合思想解题方法
“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
第 1 页 共 9 页
密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.
【例题1】（2020?遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=
????12?√3===2?√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ） ????2+√3(2+√3)(2?√3)
A．√2+1
B．√2?1
C．√2
D．
21
【对点练习】（2019?湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．D．
【例题2】（2020?济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（ ）
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
第 2 页 共 9 页
A．x＝20
B．x＝5
C．x＝25
D．x＝15
【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于 ．
【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2
的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．
(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．
(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．
【对点练习】（2020山东日照模拟）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
第 3 页 共 9 页
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为 ．
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ．
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣
，1），点B是x轴正半轴上的一动点，
以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
一、选择题
1．（2020?温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
第 4 页 共 9 页
A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+
150
）米 ????????150
）米 ????????C．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+
2．（2020恩施州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A. 4 B. 7 C. 3 D. 12
3．（2020济南模拟）如图，抛物线y=﹣2x+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
2
C． ﹣3＜m＜﹣2 D． ﹣3＜m＜﹣
A． ﹣2＜m＜ B． ﹣3＜m＜﹣
二、填空题
4．（2020乌鲁木齐模拟）如图，抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序号）
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
第 5 页 共 9 页
专题48 中考数学数形结合思想(原卷版)
